Gruppo (matematica)

In matematica, un gruppo è una struttura algebrica formata da un insieme con un'operazione binaria (come la somma o il prodotto) che soddisfa alcuni assiomi descritti sotto. Ad esempio, l'insieme dei numeri interi con la somma è un gruppo. Il ramo della matematica che studia i gruppi si chiama teoria dei gruppi.

La struttura di gruppo è forse la più importante fra quelle definite in matematica; viene sovente arricchita aggiungendo assiomi o altre operazioni: in questo modo si ottengono le strutture di anello, di campo (ad esempio i numeri razionali, reali e complessi), di spazio vettoriale.

Tra gli innumerevoli esempi di gruppi troviamo anche insiemi di matrici, di permutazioni, di simmetrie di un dato oggetto geometrico.

Definizione

Un gruppo è un insieme G munito di una operazione binaria, chiamata prodotto, che ad ogni coppia di elementi $a$ , $b$ di G associa un elemento, che indichiamo con $a*b$ , rispettando i seguenti assiomi:

G1) - proprietà associativa: dati $a, b, c$ appartenenti a G, vale $(a*b)*c = a*(b*c)$ .

G2) - esistenza dell'elemento neutro: esiste in G un (unico) elemento neutro rispetto al prodotto, cioè tale che $a*e = e*a = a$ per ogni $a$ appartenente a G.

G3) - esistenza dell'inverso: ad ogni elemento $a$ di G è associato un elemento $b$ , detto inverso di $a$ , tale che $a*b = b*a = e$ .

Imponendo solo alcuni fra questi assiomi si ottengono altre strutture, quali magma, quasigruppo, semigruppo e monoide.

Un gruppo si chiama commutativo (o abeliano) se vale anche $a*b = b*a$ per ogni coppia $a$ , $b$ di elementi di G.

La cardinalità dell'insieme G viene indicata con |G| ed è chiamata ordine del gruppo: se questa è finita allora G è un gruppo finito, altrimenti è infinito.

Esempi

Un gruppo abeliano: gli interi con la somma

I numeri interi Z = {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}, con l'operazione di somma "+" formano un gruppo.

Dimostrazione:

G1) (proprietà associativa) Se a, b e c sono interi, allora (a + b) + c = a + (b + c)

G2) (elemento neutro) 0 è un intero per cui 0 + a = a + 0 = a per ogni a

G3) (inverso) Per ogni intero a ne esiste un altro b := −a, per cui a + b = b + a = 0

Questo gruppo è anche abeliano: a + b = b + a. Gli interi considerati sia con la somma che con il prodotto formano una struttura più complicata detta anello.

Insistiamo sul fatto che la struttura di gruppo consiste di due oggetti: un insieme (gli interi) e una operazione (la somma). Per identificare bene il gruppo scriviamo quindi (Z,+).

Un oggetto che non è un gruppo: gli interi con la moltiplicazione

D'altra parte, se consideriamo gli interi con l'operazione prodotto (Z,·), non otteniamo un gruppo:

G1) (proprietà associativa) Se a, b e c sono interi, allora (a · b) · c = a · (b · c)

G2) (elemento neutro) 1 è un intero per cui a, 1 · a = a · 1 = a per ogni a

G3) (inverso) Questo assioma non è soddisfatto: non è vero che per ogni intero a ne esiste un altro b per cui ab = ba = 1. Ad esempio, se a = 2 l'inverso b dovrebbe essere 1/2, ma 1/2 non è un intero!

Gli interi con il prodotto formano un monoide commutativo.

Un gruppo finito non abeliano

Consideriamo tre blocchi colorati (rosso, giallo e blu) inizialmente messi nell'ordine RGB. Sia a l'azione di "scambiare i primi due blocchi" e b l'azione di "scambiare gli ultimi due blocchi". GroupDiagramD6.png|frame|right|Diagramma per S₃. Gli elementi del gruppo possono essere messi in un diagramma che ne descrive le relazioni. Ad esempio, il ciclo e-ba-ab qui mostra il fatto che (ba)²=ab e (ba)³=e, e che (ab)²=ba e (ab)³=e. Gli altri elementi a, aba e b hanno ordine due, ovvero il loro quadrato è l'elemento neutro.]] Sia quindi xy l'azione combinata "prima fa' y e quindi x"; quindi ad esempio ab è l'azione RGB → RBG → BRG, ovvero "scambia il primo e l'ultimo blocco". Scriviamo inoltre e per l'azione "lascia tutti i blocchi fermi dove sono". Possiamo quindi scrivere le sei permutazioni dell'insieme formato dai tre blocchi nel modo seguente:

e : RGB → RGB
a : RGB → GRB
b : RGB → RBG
ab : RGB → BRG
ba : RGB → GBR
aba : RGB → BGR

Nota che l'azione aa ha come effetto RGB → GRB → RGB, lasciando quindi i blocchi dove sono: quindi scriviamo aa = e. Analogamente,

bb = e,
(aba)(aba) = e,
(ab)(ba) = (ba)(ab) = e;

quindi ciascuna azione ha una inversa. Analogamente si verifica che queste operazioni sono associative. Otteniamo quindi un gruppo, chiamato gruppo simmetrico su 3 elementi, o S₃. Ha ordine 6 (o 3 fattoriale) e non è abeliano (ad esempio, ab ≠ ba). Visto che S₃ è costruito a partire dalle azioni di a e b, diciamo che gli elementi a e b generano il gruppo.

Altri esempi

i numeri razionali, reali o complessi con la somma sono gruppi abeliani
i numeri razionali senza lo zero con il prodotto sono un gruppo abeliano (si deve togliere lo zero per garantire che ogni numero abbia un inverso)
le funzioni biiettive da un insieme A in sé (ovvero le permutazioni di A) formano un gruppo con l'operazione di composizione di funzioni
lo spazio vettoriale Rⁿ di dimensione n con la somma è un gruppo abeliano
l'insieme delle matrici con m righe e n colonne con la somma sono un gruppo abeliano
l'insieme delle matrici quadrate invertibili con il prodotto è un gruppo non commutativo
l'insieme delle matrici quadrate ortogonali con il prodotto è un gruppo non commutativo, detto gruppo ortogonale
l'insieme delle simmetrie di un poligono regolare è un gruppo finito non commutativo, detto gruppo diedrale
l'insieme delle simmetrie di un solido, ad esempio il cubo o l'ottaedro, è un gruppo finito
le mosse che possono essere fatte con il cubo di Rubik formano un gruppo

Oggetti che non sono gruppi:

i numeri naturali con la somma: manca l'inverso
le matrici quadrate con il prodotto: se non sono invertibili, manca l'inverso

Voci correlate

Teoria dei gruppi