Algebra

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L'algebra è una branca della matematica, e può essere introdotta come generalizzazione ed estensione dell'aritmetica o, più in generale, dell'algebra elementare. Il termine algebra deriva dall'arabo الجبر, "al-djebr" che significa "unione", "connessione" o "completamento" (ma anche "aggiustare").

L'algebra elementare, insegnata nelle scuole secondarie, estende l'aritmetica tramite l'introduzione di oggetti simbolici, le variabili denotate con lettere, ai quali si applicano le usuali operazioni aritmetiche di addizione, differenza, moltiplicazione e divisione. In questo modo vengono introdotti e studiati oggetti come le equazioni ed i polinomi.

L'algebra è un campo molto più vasto dell'algebra elementare, in quanto studia numerose specie delle cosiddette strutture algebriche. Queste sono generalizzazioni degli insiemi numerici noti elementarmente (insiemi dei naturali, degli interi, dei razionali, ...) muniti delle operazioni aritmetiche. Una struttura algebrica, in buona sostanza, è un insieme munito di operazioni che soddisfano a determinati assiomi. Esempi di strutture algebriche sono i gruppi, gli anelli, i campi e gli spazi vettoriali.

Discipline

Il campo dell'algebra si divide sommariamente in:

Algebra elementare — studia le operazioni sui numeri reali e sui loro sottoinsiemi (ma anche sui numeri complessi) e le relative equazioni polinomiali con le loro soluzioni.
Algebra astratta — studia al livello generale e formale strutture algebriche come: semigruppi, gruppi, anelli, campi, reticoli, moduli, spazi vettoriali, algebre su campo, bialgebre, algebre di Hopf, superalgebre.
- Hanno grande importanza branche dell'algebra astratta come l'algebra lineare (che si occupa di strutture come i moduli e gli spazi vettoriali e di problemi come quelli concernenti le soluzioni dei sistemi di equazioni lineari), l'algebra commutativa che si occupa delle strutture basate su anelli commutativi e l'algebra non commutativa che, per contro, si occupa delle strutture basate su anelli non commutativi.
- Una menzione merita anche la teoria delle rappresentazioni, filone che studia le realizzazioni mediante algebre di matrici di varie strutture algebriche, in particolare dei gruppi finiti, dei gruppi Di Lie e delle algebre di Lie.
Algebra universale — studia le proprietà comuni a tutte le strutture algebriche sopra accennate o almeno a estese collezioni di strutture algebriche caratterizzate da proprietà dei rispettivi sistemi di assiomi; questo settore dell'algebra ha molti punti in comune con la teoria delle categorie.
Algebra computazionale — studia gli algoritmi per la manipolazione simbolica di oggetti matematici.
algebra applicata che si occupa delle applicazioni dell'algebra, come quelle riguardanti la crittografia.

La parola algebra viene anche usata come semplificazione dei termini qui usati come sinonimi algebra (struttura) e algebra su campo; inoltre viene usata come sostantivo nei termini che denotano varie strutture algebriche:

algebra Booleana - algebra di Kleene - sigma-algebra - algebra di incidenza - algebra di Lie- algebra di Clifford - algebra di Jordan - algebra di Cayley-Dickson - algebra di Poisson - algebra di Virasoro - algebra di gruppo - algebra di divisione - algebra alternativa - algebra quadratica - algebra associativa per potenze - algebra di Hopf - algebra di Banach - B* algebra - C* algebra - algebra differenziale

Sono numerosi i settori della matematica non prettamente algebrici che si servono approfonditamente di strutture algebriche. A questo proposito rinviamo alle voci:

combinatoria algebrica - gruppo fondamentale - spazio vettoriale topologico - spazio di Hilbert - spazio di Banach - geometria affine - geometria proiettiva - geometria algebrica - topologia algebrica

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