Valore atteso

In teoria della probabilità, il valore atteso (o attesa o media o speranza matematica) di una variabile casuale reale $X$ , è un numero $\mathbb{E}$ ^* che formalizza l'idea euristica di valore medio di un fenomeno aleatorio. Ad esempio, schematizziamo matematicamente il gioco dei dadi rappresentandolo con una variabile casuale che possa assumere i valori $1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6$ , ciascuno con probabilità $1/6$ . Intuitivamente, la media di questa variabile casuale sarà $3.5$ , dal momento che $\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5$ .

In generale il valore atteso di una variabile casuale (che assuma solo un numero finito di valori) è dato dalla somma dei possibili valori di tale variabile, ciascuno moltiplicato per la probabilità di essere assunto.

Esempi elementari

Variabili aleatorie discrete

Nel gioco del lotto vengono estratti 5 numeri tra 1 e 90, ed un giocatorie può puntare una certa posta sul verificarsi di vari eventi. Calcoliamo il valore atteso del ricavo di uno scommettitore che punti 10 euro sulle cinque possibili giocate:
- numero secco (si punta sull'uscita di un determinato numero; la vincita paga circa 11 volte la posta): la probabilità che il giocatore vinca è data dal rapporto da 5/90 (rapporto tra i numeri vincenti e tutti i numeri che possono essere estratti), ed in tal caso il giocatore vincerà $11*10-10=100$ euro; la probabilità di perdita è 85/90, ed in tal caso si perdono i 10 euro di puntata. Il ricavo medio sarà quindi $\frac{5}{90}*100 - \frac{85}{90}*10=-\frac{35}{9} \simeq -3.9$ . Ossia, in media il giocatore perderà $3.9$ euro per ogni 10 euro giocati.
- ambo (si punta sull'uscita di un determinata coppia di numeri; la vincita paga 250 volte la posta): vi sono ${90 \choose 2}=4005$ possibili coppie di numeri.
- terno (si punta sull'uscita di un determinata terna di numeri; la vincita paga 4500 volte la posta):
- quaterna (si punta sull'uscita di un determinata coppia di numeri; la vincita paga 120000 volte la posta):
- cinquina (si punta sull'uscita di un determinata coppia di numeri; la vincita paga 6 milioni di volte la posta):

Nel caso di variabile casuale discreta, può essere calcolata pure come:

\ \textrm{E}

^* = \sum_{i=1}^{\infty} x_{i} P(x_{i}) < \infty

Nel caso di v.c. continua che ammetta densità il calcolo diventa:

\ \textrm{E}

^* = \int_{-\infty}^{\infty}x f(x) dx < \infty

La legge dei grandi numeri

Definzione matematica

Sia

(\Omega,\mathfrak{F},\mathbb{P})

uno spazio di probabilità, ed

X

una variabile aleatoria a valori reali su tale spazio (ossia una funzione misurabile

X:\Omega \mapsto \mathbb{R}

, dove i numeri si intedono equipaggiati con la loro σ-algebra boreliana). Il valore atteso di

X

è semplicemente l'integrale di

X

rispetto alla misura di probabilità

\mathbb{P}

\mathbb{E}(X):= \int_{\Omega} X(\omega) \mathbb{P}(d \omega)

Valore atteso condizionato

Generalizzazioni

Stime del valore atteso

In statistica, la stima del valore atteso assume un ruolo centrale, in quanto principale parametro usato nella statistica inferenziale.

Voci correlate

Teoria della probabilità

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