Teoria delle categorie (matematica)

La Teoria delle categorie è una teoria matematica che studia in modo astratto le strutture matematiche e le relazioni tra esse. La nozione di categoria fu introdotta per la prima volta da Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane nel 1945 nell'ambito della topologia algebrica.

Informalmente, una categoria è costituita da determinate strutture matematiche e dalle mappe tra esse che ne conservano le operazioni.

Categorie

Definizione

Una categoria consiste di:

una classe i cui elementi sono chiamati oggetti
per ogni coppia ordinata di oggetti A e B, un insieme Mor(A,B) i cui elementi sono chiamati morfismi. Se f è un elemento di Mor(A,B), scriveremo f: A → B
per ogni terna di oggetti A, B e C, è definita un'operazione binaria Mor(A,B) x Mor(B,C) → Mor(A,C), chiamata composizione di morfismi. La composizione di f: A → B con g: B → C si indica con g o f: A → C (talvolta si indica semplicemente gf). Per la composizione devono valere i seguenti assiomi:
(associatività) se f: A → B, g: B → C e h: C → D, allora h o (g o f)=(h o g) o f
(identità) per ogni oggetto X esiste un morfismo id_X: X → X , chiamato il morfismo identità per X, tale che per ogni morfismo f : A → B vale id_B o f = f = f o id_A:

Dagli assiomi si deduce che a ogni oggetto è associato un unico morfismo identità, questo permette di dare una definizione diversa di categoria, dove gli oggetti vengono identificati a posteriori con i corrispondenti morfismi identità.

Una categoria si dice piccola se la classe degli oggetti è un insieme. Molte importanti categorie non sono piccole.

Esempi

Negli esempi le categorie sono indicate tramite i loro oggetti e i corrispondenti morfismi.

Gli insiemi e le funzioni tra essi
I monoidi e gli omomorfismi tra essi
I gruppi coi loro omomorfismi
Gli spazi vettoriali e le funzioni lineari
Gli spazi topologici e le funzioni continue
Gli spazi misurabili e le funzioni misurabili
Le varietà differenziabili e le funzioni differenziabili

Ogni monoide forma una categoria piccola con un singolo oggetto X (il monoide stesso) avendo come morfismi gli elementi del monoide. (L'azione di un elemento di X su un qualunque altro elemento è definita dall'operazione binaria del monoide).
Se I è un insieme, la categoria discreta su I è la categoria piccola che ha come oggetti gli elementi di I e come morfismi solo i morfismi identità.
Da ogni categoria C si può definire una nuova categoria, la categoria duale C^* che ha per oggetti gli stessi oggetti di C, ma che inverte la direzione dei morfismi (l'insieme Mor(A,B) diventa l'insieme Mor(B,A)).
Se C e D sono categorie, si può definire la categoria prodotto, i cui oggetti sono coppie aventi per primo elemento un oggetto di C e per secondo un oggetto di D, i morfismi sono analoghe coppie di morfismi; la composizione viene definita componente per componente ( (f,f') o (g,g'):=(f o g,f' o g') ).

Sebbene esistano dei "morfismi" tra le categorie (i funtori) non è possibile definire la "categoria delle categorie", in quanto le categorie che sono classi proprie non possono appartenere ad altre classi (per definizione). È possibile invece parlare della categoria delle categorie piccole, le quali, essendo insiemi, possono appartenere a una classe e quindi essere oggetti di una categoria.

Tipi di morfismi

Un morfismo f: A → B si chiama

monomorfismo se 'fg₁ = fg₂ implica g₁ = g₂ per tutti i morfismi g₁, g₂ : X → A.
epimorfismo if g₁f = g₂f implica g₁ = g₂ per tutti i morfismi g₁, g₂ : B → X.
isomorfismo se esiste un morfismo g : B → A con fg = id_B e gf = id_A.
endomorfismo se A = B.
automorfismo se f è insieme un endomorfismo e un isomorfismo.

Funtori

I funtori sono mappe tra le categorie che ne conservano le strutture.

Un funtore covariante dalla categoria C alla categoria D è una mappa che associa:

ad ogni oggetto X in C un oggetto F(X) in D
ad ogni morfismo f:X→Y un morfismo F(f):F(X)→F(Y)

in modo tale che valgano le seguenti proprietà:

F(id_X) = id_F(X) per ogni oggetto X in C.
F(g o f) = F(g) o F(f) per tutti i morfismi f : X → Y e g : Y → Z.

Un funtore contravariante è definito in maniera analoga, ma inverte i morfismi, i.e. se f:X→ Y, allora F(f):F(Y)→ F(X)). Dato un funtore covariante da C a D, il corrispondente funtore da C^* a D è contravariante.

Trasformazioni e Isomorfismi Naturali

Una trasformazione naturale è una relazione tra due funtori definiti sulla stessa coppia di categorie. Se i funtori rappresentano generalmente delle “costruzioni naturali” che mettono in relazione due categorie con le loro proprietà, le trasformazioni naturali mettono in relazione due costruzioni di questo tipo in modo “naturale”. Il concetto di isomorfismo naturale serve a formalizzare il fatto che due diverse costruzioni possano portare, di fatto, allo “stesso” risultato.

I due Funtori F e G si dicono naturalmente isomorfi se esiste una trasformazione naturale da F a G tale che η_X sia un isomorfismo tra oggetti in D per ogni oggetto X in C.