La teoria degli insiemi svolge un ruolo importante per i fondamenti della matematica e attualmente si colloca nell'ambito della logica matematica. Prima della metà del XIX secolo la nozione di insieme veniva considerata solo come qualcosa di intuitivo e generico. Essa è stata inizialmente sviluppata nella seconda metà del XIX secolo dal matematico tedesco Georg Cantor, è stata al centro dei dibattiti sui fondamenti dal 1890 al 1930 ed ha ricevuto le prime sistemazioni assiomatiche per merito di Ernst Zermelo, Adolf Fraenkel, Paul Bernays, Kurt Gödel, John von Neumann e Thoralf Skolem. In questo periodo si sono assestati due sistemi di assiomi chiamati rispettivamente sistema assiomatico di Zermelo-Fraenkel e sistema assiomatico di Von Neumann-Bernays-Gödel.

Successivamente si sono affrontate le tematiche riguardanti il problema della completezza dei sistemi di assiomi (v. teorema di incompletezza di Gödel), i rapporti con la teoria della calcolabilità (v.a. macchina di Turing) e la compatibilità dei sistemi di assiomi con l'assioma della scelta e con assiomi equivalenti o simili.

Attualmente si dispone di differenti consolidate teorie formali degli insiemi. Inoltre, per chi non ha tempo e gusto per affrontare le astrattezze delle teorie assiomatiche (cosa che sembra accada anche alla maggior parte dei matematici), sono disponibili, e molto utili, esposizioni più intuitive che costituiscono la cosiddetta teoria naïve degli insiemi.

Elenchiamo le entità principali della teoria degli insiemi.

Entità di base

• elemento
• insieme, chiamato anche assieme, aggregato, collezione, set
• sottoinsieme
• filtro
• ultrafiltro

Operatori e costruzioni

• unione: ∪ (OR nell'Algebra Booleana)
• intersezione: ∩ (AND nell'Algebra Booleana)
• differenza (XOR nell'Algebra Booleana)
• complemento (NOT nell'Algebra Booleana)
• prodotto cartesiano
• insieme potenza o insieme delle parti

Relazioni

• appartenenza: ∈
• inclusione: ⊂
• disgiunzione
• non confrontabilità

Insiemi delle diverse cardinalità e controllabilità

• Insieme vuoto: Ø
• Insieme finito
• Insieme esplicito
• Insieme esplicitabile
• Insieme numerabile
• Insieme ricorsivo
• Insieme ricorsivamente enumerabile
• Insieme contabile
• Insieme con la potenza del continuo
• Insieme con la potenza delle funzioni reali

• Cardinalità
• Numero transfinito

Insiemi numerici

• numeri positivi
• numeri naturali
• numeri interi o numeri relativi
• numeri razionali
• numeri algebrici
• numeri costruibili
• numeri reali
• numeri complessi

Voci correlate

• Matematica
• Insieme sfocato o insieme fuzzy
• Luogo geometrico
• Teoria delle categorie
• Analisi non standard

Bibliografia

• Nicolas Bourbaki: Set theory
• Paul Halmos: Naive set theory

Matematica | Teoria degli insiemi

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