In matematica, il teorema di Fubini, chiamato in onore del matematico italiano Guido Fubini, afferma che se

l'integrale, rispetto al prodotto di due intervalli nello spazio $A\backslash times\; B$, può essere scritto come:

$\backslash int\_A\backslash left(\backslash int\_B\; f(x,y)\backslash ,dy\backslash right)\backslash ,dx=\backslash int\_B\backslash left(\backslash int\_A\; f(x,y)\backslash ,dx\backslash right)\backslash ,dy=\backslash int\_\{A\backslash times\; B\}\; f(x,y)\backslash ,d(x,y),$

i primi due integrali sono integrali semplici, mentre il terzo è un integrale sul prodotto di due intervalli.

Inoltre se:

$f(x,y)\; =\; f(x)g(y),$

allora

$\backslash int\_A\; f(x)\backslash ,\; dx\; \backslash int\_B\; g(y)\backslash ,\; dy\; =\; \backslash int\_\{A\backslash times\; B\}\; f(x)g(y)\backslash ,d(x,y)$

quindi l'integrale doppio è riconducibile al prodotto di due integrali semplici.

Se il valore assoluto dell'integrale doppio non è limitato, allora i due integrali semplici possono avere valori differenti.

Applicazioni

Una delle tante applicazioni del teorema di Fubini è la valutazione dell'integrale di Gauss, che è alla base della teoria della probabilità:

$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; e^\{-x^2\}\backslash ,dx\; =\; \backslash sqrt\{\backslash pi\}.$

Per vedere come il teorema di Fubini è usato per dimostrare ciò, vedere integrale di Gauss.

Può essere usato per definire l'area di un rettangolo $A\backslash times\; B$, considerando la funzione unitaria:

$\backslash mu(A\backslash times\; B)=\backslash int\_\{A\backslash times\; B\}\backslash ,d(x,y)\; =\; \backslash int\_A\; \backslash ,\; dx\; \backslash int\_B\; \backslash ,\; dy\; =\; \backslash mu(A)\; \backslash mu(B)$

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