In economia, il tasso (o saggio) di interesse rappresenta la misura dell'interesse su un prestito e l'importo della remunerazione spettante al prestatore.

Viene espresso come una percentuale per un dato periodo di tempo e indica quanta parte della somma prestata debba essere corrisposta come interesse al termine del tempo considerato o, da un altro punto di vista, indica il costo del denaro. Il debitore, infatti, ricevendo una somma di denaro, si impegna a pagare una somma superiore a quella ricevuta. La differenza costituisce l'interesse, che viene solitamente calcolato in percentuale sulla somma prestata. Tale percentuale costituisce il tasso di interesse. Il tasso d'interesse è variabile anche in funzione della moneta di riferimento, del rischio connesso alla solvibilità del debitore e della lunghezza del periodo di riferimento.

Se la durata del prestito è superiore al periodo di tempo per cui l'interesse viene conteggiato, si parla di interesse composto, perché vengono conteggiati nel calcolo dell'interesse finale anche gli interessi parziali già maturati per ogni periodo.

Interesse semplice

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L'interesse viene detto semplice quando è proporzionale al capitale e al tempo. Ovvero gli interessi maturati da un dato capitale nel periodo di tempo considerato, non vengono aggiunti al capitale che li ha prodotti e, quindi, non maturano a loro volta interessi.

Indicando con i l'interesse (tasso unitario annuo), con C il capitale iniziale, con t il periodo di tempo in anni e con M il montante, si avrà:

$\backslash \; M\; =\; C\; +\; Cit\; =\; C(1+it)$ .

Interesse composto

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L'interesse viene detto composto quando, invece di essere pagato o riscosso, è aggiunto al capitale iniziale che lo ha prodotto. Questo comporta che alla maturazione degli interessi il montante verrà riutilizzato come capitale iniziale per il periodo successivo, ovvero anche l'interesse produce interesse.

L'interesse composto si divide in:

• discontinuo annuo;
• discontinuo convertibile;
• continuo o matematico.

Montante ad interesse composto discontinuo annuo

In questo caso gli interessi si sommano al capitale iniziale che li ha prodotti al termine di ogni anno.

Per determinare il montante di un capitale $C$, dopo un numero $n$ di anni e impiegato ad interesse composto (annuo) $i$, si procede come segue. Si indichi con $M\_n$ il montante alla fine dell'anno $n$.

Il montante $M\_1$ si ottiene con la formula per l'interesse semplice posto $t\; =\; 1$:

$\backslash \; M\_1\; =\; C\; (1+i)$ .

Il montante $M\_2$ si applica la stessa formula posto $t\; =\; 1$, ma il capitale è ora $M\_1$, quindi:

$\backslash \; M\_2\; =\; M\_1\; (1+i)\; =\; C(1+i)(1+i)\; =\; C\; (1+i)^2$ .

Generalizzando, dopo $n$ anni, il montante $M\_n$ risulta:

$\backslash \; M\_n\; =\; C\; (1+i)^n$ .

Montante ad interesse composto discontinuo convertibile

In questo caso gli interessi maturano $t$ volte durante l'anno, ma sempre in periodi definiti. In genere viene definito un tasso annuo nominale $i$ al quale corrisponde un tasso convertibile $i\_c$ dato da:

$\backslash \; i\_c\; =\; \backslash frac\{i\}\{t\}$ .

Per il calcolo del montante si applica la stessa formula impiegata per l'interesse composto continuo annuo:

$\backslash \; M\; =\; C\; (1+i\_c)^\{nt\}\; =\; C\; \backslash left(1+\backslash frac\{i\}\{t\}\backslash right)^\{nt\}$ .

dove $i\_c$ è l'interesse convertibile e $nt$ indica il numero di volte in cui l'interesse convertibile matura nell'intero periodo.

Montante ad interesse composto continuo o matematico

In questo caso gli interessi si sommano al capitale che li ha prodotti ad ogni istante. Il tasso d'interesse composto a capitalizzazione continua ha applicazioni soprattuto teoriche, nella matematica finanziaria; sebbene sia rilevante nelle applicazioni relative alle più semplici operazioni finanziarie, è ad esempio ampiamente utilizzato nelle formule di valutazione di operazioni finanziarie complesse, come nella valutazione delle opzioni.

L'interesse in capitalizzazione continua può essere giustificato come segue. Si consideri un tasso annuale $r$, e si supponga di suddividere l'anno in $t$ periodi, al termine di ciascuno dei quali viene corrisposta una frazione dell'interesse relativo all'intero anno pari a $\backslash frac\{r\}\{t\}$, che viene immediatamente reinvestita. A partire da un capitale iniziale $C$, il montante al termine dell'anno sarà allora:

$\backslash \; M=C\backslash left(1+\backslash frac\{r\}\{t\}\backslash right)^\{t\}$

Passando al limite per $t$ che tende a infinito, si ha il caso in cui un flusso continuo di pagamenti viene reinvestito in maniera continua; il montante sarà dato da:

$\backslash \; M\; =\; \backslash lim\_\{t\backslash to\backslash infty\}\; C\backslash left(1+\backslash frac\{r\}\{t\}\backslash right)^t\; =\; Ce^\{rt\}$,

ricorrendo al limite notevole che definisce il numero di Nepero $e$. Nel caso in cui il tasso $r$ è una funzione $r(t)$ il cui valore varia nel tempo, si generalizza l'espressione precedente come:

$\backslash \; M(t)\; =\; C\backslash exp\backslash left\backslash \{\backslash int\_0^t\; r(\backslash tau)d\backslash tau\backslash right\backslash \}$

Leggi di equivalenza finanziaria

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Due tassi d'interesse, relativi a periodi diversi di capitalizzazione, si dicono equivalenti se, a parità di capitale iniziale e di periodo di applicazione, producono lo stesso montante, ovvero gli stessi interessi.

Relazione tra tassi equivalenti nel regime a interesse semplice

Per determinare la relazione tra due tassi unitari a interesse semplice $i\_\{s1\}$ e $i\_\{s2\}$ è sufficiente uguagliare i montanti che sono prodotti da periodi di tempo $t\_1$ e $t\_2$ differenti:

$\backslash \; M\; =\; C(1+i\_\{s1\}t\_1)\; =\; C(1+i\_\{s2\}t\_2)$ .

Noto uno dei due tassi è possibile ottenere l'altro ad esso equivalente tramite le seguenti relazioni:

$i\_\{s1\}\; =\; \backslash frac\{(1+i\_\{s2\}t)\; -\; 1\}\{t\}$

e

$i\_\{s2\}\; =\; \backslash frac\{(1+i\_\{s1\}t)\; -\; 1\}\{t\}$ .

Relazione tra tassi equivalenti nel regime ad interesse composto discontinuo

Per determinare la relazione tra due tassi unitari ad interesse composto i_c1 e i_c2 è sufficiente uguagliare i montanti che sono prodotti da periodi di tempo t₁ e t₂ differenti:

$M\; =\; C(1+i\_\{c1\})^\{t\_1\}\; =\; C(1+i\_\{c2\})^\{t\_2\}$ .

Da questa si ottengono le relazioni:

$i\_\{c1\}\; =\; (1-i\_\{c2\})^\backslash frac\{t\_2\}\{t\_1\}-1$

e

$i\_\{c2\}\; =\; (1-i\_\{c1\})^\backslash frac\{t\_1\}\{t\_2\}-1$ .

Relazione tra tassi equivalenti in regimi differenti

Per determinare la relazione tra due tassi unitari i_s (regime a interesse semplice) e i_c (regime a interesse composto) è sufficiente uguagliare i montanti che sono prodotti dallo stesso preriodo di tempo t:

$\backslash \; M\; =\; C(1+i\_st)\; =\; C(1+i\_c)^t$ .

Da questa si ottengono le relazioni:

$i\_s\; =\; \backslash frac\{(1+i\_c)^t\; -\; 1\}\{t\}$

e

$i\_c\; =\; \backslash sqrt*\{(1+i\_st)\}\; -\; 1$ .

Si può notare come l'equivalenza dipenda dalla durata della capitalizzazione.

Aspetti legislativi

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Tasso usurario

La legge si occupa di tassi di interesse a diversi livelli, considerata la grave disparità di situazioni generalmente riguardanti prestatore e prestatario (colui che riceve il denaro in prestito); al fine di evitare che il prestatore possa sfruttare a fini di ingiusto profitto la condizione di necessità di chi richiede un prestito, i tassi di interesse non possono essere libero oggetto di contrattazioni, ma vanno ricondotti in una fascia empiricamente ricavata dall'osservazione trimestrale della media dei tassi applicati per la piazza di riferimento. Un tasso superiore al 150% del tasso medio rilevato costituisce tasso usurario.

Anatocismo

In Italia, inoltre, la pratica di calcolare gli interessi sugli interessi (anatocismo) è sempre stata espressamente vietata dal Codice Civile (art. 1283); recenti sentenze giurisdizionali hanno imposto alle banche che lo avevano applicato la restituzione degli indebiti.

Interesse nel contratto di mutuo

Nei mutui, che rappresentano una forma tipica di prestito, i tassi possono essere anche variabili o misti: quando sono variabili, vengono ricalcolati ad ogni rata secondo una formula prestabilita in base a degli indicatori economici prefissati e, di conseguenza, vengono ricalcolati anche gli interessi e, quindi, l'ammontare della rata stessa. Il tasso misto è fisso per un certo intervallo di tempo e, poi, diventa variabile. La durata del tasso fisso e la formula di quello variabile sono, comunque, stabilite in anticipo, al momento della stipula del contratto. Va detto che esigenze di natura commerciale hanno moltiplicato le possibili forme di prestito e, conseguentemente, favorito la creazione di molti nuovi modi di composizione del tasso e delle altre modalità di prestito.

Il calcolo dell'importo finale della somma da restituire in corrispondenza di un determinato tasso d'interesse ed a determinate scadenze (usualmente misurate in anni, ma vanno prendendo piede le misurazioni a semestri e - per alcuni tipi di prestito - anche minori), si definisce montante.

Voci correlate

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• Anatocismo
• Interesse
• TAN
• TAEG
• Tasso d'interesse reale
• Tasso d'interesse nominale
• Tasso annuo nominale
• Tasso annuo effettivo globale
• Tasso ufficiale di sconto
• Usura

matematica finanziaria | diritto commerciale | ragioneria

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