Si definisce sistema di riferimento, l'insieme dei riferimenti utilizzati per individuare la posizione di un oggetto nello spazio. A seconda del numero di riferimenti usati si può parlare di:

• Sistema di riferimento monodimensionale
• Sistemi di riferimento bidimensionale
• Sistemi di riferimento tridimensionale

Il sistema di riferimento monodimensionale

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Il sistema di riferimento monodimensionale è costituito da una retta, sulla quale un oggetto, di solito un punto, è vincolato a muoversi. Su questa retta si fissa un origine, che è consuetudine indicare con O, un verso di percorrenza ed un'unità di misura delle lunghezze. È possibile individuare un punto sulla retta in base ad un numero reale, che individua la distanza dall'origine nell'unità di misura scelta, positiva se concorde con il verso di percorrenza scelto e negativa altrimenti, del punto. Tale numero è detto coordinata, e per indicare genericamente tale coordinata si usa la lettera x. La retta su cui si è fissato origine, verso di percorrenza e unità di misura è detta ascissa. Quando un punto, anziché su una retta, è vincolato a muoversi su una curva è possibile scegliere anche su quest'ultima un'origine, un verso di percorrenza ed un'unità di misura, ma in tal caso si parlerà di ascissa curvilinea. La distanza con segno del punto dall'origine è la coordinata curvilinea del punto.

Sistemi di riferimento bidimensionale

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Il sistema cartesiano

Uno dei sistemi di riferimento bidimensionale è costituito da una coppia di rette incidenti. Tali rette sono indicate, in genere, con X e Y, ed il loro punto di intersezione è l'origine per entrambe le rette. Su ciascuna retta si fissa un verso di percorrenza ed un'unità di misura che in genere è uguale per entrambe le rette, ma per esigenze particolari può benissimo essere diversa per ciascuna retta. La posizione di un punto vincolato a muoversi su un piano può essere individuata da una coppia di valori reali, genericamente indicati con le lettere x e y. Si indica con x il numero reale che individua la distanza dall'asse Y del punto, misurata parallelamente all'asse X nell'unità di misura scelta per quest'ultimo; con y il numero reale che individua la distanza dall'asse X del punto, misurata parallelamente all'asse Y nell'unità di misura scelta per quest'ultimo. La coppia di coordinate che individua il punto si indica scrivendo (x,y) oppure $\backslash langle\; x,y,\; \backslash rangle$.

Quando gli assi X e Y sono fra loro ortogonali tale sistema di riferimento si dice ortogonale o cartesiano, in onore del matematico francese Cartesio che per primo lo introdusse. In tal caso l'asse X, orizzontale, prende il nome di ascissa, e l'asse Y, verticale, prende il nome di ordinata. Negli altri casi si parla di sistema di riferimento cartesiano non ortogonale.

Il sistema polare

Polar coordinates.png Un sistema di riferimento polare è formato da due coordinate indicate con le lettere ρ e φ. Con ρ si indica la distanza del punto considerato dall'origine del sistema; in pratica se consideriamo il vettore $\backslash vec\; \backslash rho$ che congiunge l'origine degli assi con il nostro punto, ρ ne indica il modulo. Con φ, invece, ci si riferisce all'angolo che si forma tra il vettore $\backslash vec\; \backslash rho$ considerato prima, e il verso positivo dell'asse X di un normale sistema ortogonale. Dunque, $\backslash rho$ è il raggio e $\backslash phi$ un angolo orientato.

Per passare dalle coordinate polari alle cartesiane si usano le seguenti formule:

$x\; =\; \backslash rho\; \backslash cos\; \backslash phi\backslash ,\backslash !$
$y\; =\; \backslash rho\; \backslash sin\; \backslash phi\backslash ,\backslash !$

e per passare da quelle cartesiane a quelle polari

$\backslash rho\; =\; \backslash sqrt\{\; x^2\; +\; y^2\}\; =\; \backslash sqrt\; \{\backslash rho^2+\; cos^2(\backslash phi)\}$
$\backslash phi\backslash \; =\; \backslash arcsin\; \backslash left(\; \backslash frac\{y\}\{\; \backslash rho\backslash \; \}\; \backslash right)\; =\; \backslash arccos\; \backslash left(\; \backslash frac\{x\}\{\; \backslash rho\backslash \; \}\; \backslash right)$

Si può trovare in molti casi la coordinata ρ denotata con la lettera r. Questo passaggio di coordinate è molto utile in alcune applicazioni della matematica come nella risoluzione degli integrali multipli su domini costituiti da corone circolari.

L'integrale è un limite che esiste se è unico. Perciò, è necessario che il risultato sia un numero e che le funzioni seno e coseno si semplifichino nel calcolo.

Sistemi di riferimento tridimensionale

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Il sistema rettangolare(o cartesiano)

Il sistema di riferimento tridimensionale è costituito da tre rette non coincidenti passanti per un punto che è l'origine delle rette. Per ciascuna di tali rette, in genere indicate con X, Y e Z, si sceglie un'unità di misura ed un verso di percorrenza. Le coordinate generiche di un punto nello spazio sono indicate con le lettere x, y e z. Si indica con x il numero reale che individua la distanza di un punto dal piano individuato dalle rette Y e Z misurata parallelamente all'asse X nell'unità di misura scelta per quest'ultimo asse. Si definiscono analogamente y e z. Le tre coordinate che individuano un punto nello spazio sono indicate con la simbologia (x,y,z). Quando i tre assi sono fra loro ortogonali il sistema di riferimento si dice ortogonale o rettangolare.

Il sistema cilindrico

Cylindrical coordinates.png Il sistema cilindrico è la naturale espansione del sistema polare nelle tre dimensioni. In questo caso le coordinate sono ρ, φ e z. Considerando un generico punto P, e la sua proiezione sul piano XY detta Q, la coordinata z indica la distanza PQ. Con ρ si denota la distanza dall'origine del punto Q, mentre φ individua l'angolo che si forma tra il vettore $\backslash vec\; \backslash rho$ e l'asse X.

Per passare dal sistema cilindrico a quello rettangolare:

$x\; =\; \backslash rho\; \backslash \; \backslash cos\; \backslash phi$

$y\; =\; \backslash rho\; \backslash \; \backslash sin\; \backslash phi$

$z\; =\; z\; \backslash$

e per passare alle coordinate cilindriche:

$\backslash rho\backslash \; =\; \backslash sqrt\{\; x^2\; +y^2\}$

$\backslash phi\backslash \; =\; \backslash arctan\; \backslash left(\; \backslash frac\{y\}\{x\}\; \backslash right)\; =\; \backslash arcsin\; \backslash left(\; \backslash frac\{y\}\{\; \backslash sqrt\{\; x^2\; +y^2\}\; \}\; \backslash right)\; =\; \backslash arccos\; \backslash left(\; \backslash frac\{x\}\{\; \backslash sqrt\{\; x^2\; +y^2\}\; \}\; \backslash right)$

$z\; =\; z\; \backslash$

Molto spesso la coordinata ρ viene indicata con R.

Il sistema sferico

Spherical coordinates.png Un altro sistema che si può usare per orientarsi nello spazio è il sistema sferico. È formato da tre coordinate: ρ, θ e φ. Si considera sempre un generico punto P e la sua proiezione sul piano XY chiamata Q. Con ρ questa volta si indica la distanza di P dall'origine e θ è l'angolo che $\backslash vec\; \backslash rho$ forma con l'asse Z. Indichiamo invece con $\backslash vec\; \backslash rho\; \backslash \; \text{'}$ il vettore che collega l'origine con il punto Q, φ individua l'angolo che quest'ultimo vettore forma con l'asse X.

Per passare da un sistema sferico ad uno rettangolare si usano le seguenti uguaglianze:

$x\; =\; \backslash rho\; \backslash \; \backslash sin\; \backslash theta\; \backslash \; \backslash cos\; \backslash phi$

$y\; =\; \backslash rho\; \backslash \; \backslash sin\; \backslash theta\; \backslash \; \backslash sin\; \backslash phi$

$z\; =\; \backslash rho\; \backslash \; \backslash cos\; \backslash theta$

Per passare da coordinate sferiche a cartesiane:

$\backslash rho\; =\; \backslash sqrt\{\; x^2\; +\; y^2\; +\; z^2\}$

$\backslash phi\backslash \; =\; \backslash arctan\; \backslash left(\; \backslash frac\{y\}\{x\}\; \backslash right)$

$\backslash theta\backslash \; =\; \backslash arccos\; \backslash left(\; \backslash frac\{z\}\{\; \backslash sqrt\{\; x^2\; +\; y^2\; +\; z^2\}\; \}\; \backslash right)$

Anche con questo sistema spesso si usa la lettera r al posto della lettera ρ.

Voci correlate

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• Coordinate ellittiche
• Coordinate paraboliche
• Coordinate parabolico cilindriche
• Coordinate celesti

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