Pendolo_semplice.jpg

Il pendolo, detto anche pendolo semplice, è un sistema fisico molto semplice, costituito da un filo inestensibile e da una massa m fissata alla sua estremità.

I primi esperimenti fatti su tale sistema risalgono a Galileo Galilei, che ne ha anche descritto dettagliatamente il moto.

Tale sistema può essere studiato molto semplicemente andando ad esaminare il tipo di moto che la massa, sottoposta alla forza di gravità, compie. La massa in questione oscilla, lungo una traiettoria circolare. Si può quindi scrivere la sua velocità angolare:

$\backslash omega\; =\; \backslash frac\; \{\backslash operatorname\; \{d\}\; \backslash vartheta\}\{\backslash operatorname\; \{d\}\; t\}$

Quello cui, però, si è interessati è l'accelerazione:

$\backslash alpha\; =\; \backslash frac\; \{\backslash operatorname\; \{d\}\; \backslash omega\}\{\backslash operatorname\; \{d\}\; t\}\; =\; \backslash frac\; \{\backslash operatorname\; \{d\}^2\; \backslash vartheta\}\{\backslash operatorname\; \{d\}\; t^2\}$

Ora, per ogni posizione del pendolo, descritta dall'angolo θ misurato rispetto alla verticale, e detta l la lunghezza del filo, si può determinare il modulo dell'accelerazione tangenziale (vedi moto circolare):

$a\; =\; -\; g\backslash sin\backslash theta$

Poiché il sistema è in equilibrio, la somma di quest'ultima e di quella calcolata in precedenza deve essere nulla. Si ottiene, così:

$\backslash frac\; \{\backslash operatorname\; \{d\}^2\; \backslash vartheta\}\{\backslash operatorname\; \{d\}\; t^2\}\; +\; \backslash frac\; \{g\}\{l\}\; \backslash sin\; \backslash vartheta\; =\; 0$

che risulta essere l'equazione del moto del pendolo.

Per angoli piccoli (formalmente, quando sinθ ~ θ) l'equazione diventa:

$\backslash frac\; \{\backslash operatorname\; \{d\}^2\; \backslash vartheta\}\{\backslash operatorname\; \{d\}\; t^2\}\; +\; \backslash frac\; \{g\}\{l\}\; \backslash vartheta\; =\; 0$

che è un'equazione differenziale del II ordine e facilmente risolvibile. Diventa così possibile determinare anche il periodo di una oscillazione completa, ovvero il tempo impiegato dal pendolo per andare da un estremo all'altro e ritornare nell'estremo iniziale. Si ha infatti che l'accelerazione del pendolo è:

$a\; =\; -\; g\; \backslash sin\backslash vartheta$

Ma $\backslash sin\backslash vartheta$ è il rapporto tra la lunghezza $l$ del pendolo e la sua posizione $x$, sicché l'accelerazione diventa:

$a\; =\; -\; \backslash frac\{g\}\{l\}\; x$

che è del tipo $a\; =\; -\; \backslash omega^2\; x$ del moto circolare uniforme. Da questo deriva che

$\backslash omega=\backslash sqrt\{\backslash frac\{g\}\{l\}\}$

e in definitiva

$T\; =\; 2\; \backslash pi\; \backslash sqrt\; \backslash frac\; \{l\}\{g\}$

Si può notare che, per angoli piccoli, la legge di oscillazione è indipendente dalla massa e dall'ampiezza dell'oscillazione stessa, ovvero dall'angolo tra la posizione iniziale e quella centrale di minimo.

Dal punto di vista dell'energia, infine, nelle posizioni estreme si ha solo potenziale gravitazionale, ovvero la particella ha solo energia di posizione e non di movimento, mentre nel punto di minimo vi è solo energia cinetica, ovvero la particella ha solo energia di movimento e non di posizione.

Pendolo fisico

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Quanto detto sino ad ora vale per oggetti considerabili come puntiformi. In tal caso, il peso lo si pensa concentrato nel centro di massa. Tuttavia si tratta di un'approssimazione, e per corpi di dimensioni non trascurabili è opportuno effettuare nuove considerazioni. la forza netta agente sul pendolo è:

$F\; =\; ma\; =\; -mg\backslash sin\backslash vartheta$

Il momento risultante sul pendolo è pertanto il prodotto tra tale forza e la distanza dal perno del centro di massa del corpo. In formule si ha:

$I\backslash alpha\; =\; Fd\; \backslash ;\; \backslash Rightarrow\; \backslash ;\; I\backslash alpha\; =\; -mgd\backslash sin\backslash vartheta$

dove $I$ rappresenta il momento di inerzia del pendolo rispetto al centro di rotazione, che è il perno attorno al quale avviene la rotazione. Anche qui vale quanto detto prima per l'angolo $\backslash vartheta$, e quindi si arriva a

$\backslash frac\{\backslash operatorname\{d\}^2\; \backslash vartheta\}\{\backslash operatorname\{d\}\; t^2\}\; +\; \backslash frac\; \{mgd\}\{I\}\; \backslash vartheta\; =\; 0$

da cui si ricava, in modo analogo al pendolo semplice, il periodo:

$T\; =\; 2\backslash pi\backslash sqrt\{\backslash frac\{I\}\{mgd\}\}$

Fisica

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