Un paradosso, dal greco para, oltre e doxa, opinione, è qualcosa che sfida l'opinione comune: si tratta, infatti (secondo la definizione che ne dà Mark Sainsbury) di "una conclusione apparentemente inaccettabile, che deriva da premesse apparentemente accettabili per mezzo di un ragionamento apparentemente accettabile". Un sinonimo è antinomia, usato in filosofia ed economia.

In matematica si tende a distinguere il concetto di paradosso, che consiste in una proposizione perfettamente dimostrata, ma lontana dall'intuizione, dal concetto di antinomia che consiste in una contraddizione logica.

Sin dall'inizio della storia scritta, si hanno riferimenti ai paradossi: dai paradossi di Zenone alle antinomie kantiane, fino a giungere ai paradossi della meccanica quantistica e della teoria della relatività generale, l'umanità si è sempre interessata ai paradossi. Un'intera corrente filosifico-religiosa, il buddhismo zen, affida l'insegnamento della sua dottrina ai koan, indovinelli paradossali. Alcuni paradossi, poi, hanno preceduto di secoli la loro risoluzione: prendiamo ad esempio il paradosso di Zenone della freccia:

"Il terzo argomento è quello della freccia. Essa infatti appare in movimento ma, in realtà, è immobile: in ogni istante di fatti occuperà solo uno spazio che è pari a quello della sua lunghezza; e poiché il tempo in cui la freccia si muove è fatta di infiniti istanti, essa sarà immobile in ognuno di essi."

Come si può distinguere la freccia in movimento da quella ferma, e smentire il paradosso? Oggi sappiamo che, secondo la teoria della relatività ristretta, una freccia in moto rispetto all'osservatore appare a questi più corta della stessa freccia ferma rispetto all'osservatore. Tra Zenone e la relatività ristretta intercorrono ben 24 secoli! Molti paradossi sono alla base di trame di film famosi, ad esempio nel secondo Terminator, scopriamo che le macchine hanno origine dai resti del primo terminator inviato, una versione del classico paradosso della nonna. Meno noto è il paradosso del Comma 22 del codice di guerra dei Klingon, desunto quasi letteralmente dal romanzo Comma 22.

Un altro tipo di paradosso è quello dei paradossi in senso letterale, ossia contro l'opinione comune. Ad esempio, si parla molto del riscaldamento globale e dell'effetto serra. Secondo i modelli climatologici accettati, il riscaldamento dell'Artico, con il conseguente scioglimento dei ghiacci, causa il raffreddamento dell'Europa. Quindi più fa caldo (globalmente) più fa freddo (localmente). Questo è noto come paradosso dell'Artico.

I paradossi dei sensi

---

Nelle neuroscienze sono noti molti paradossi dovuti all'imperfezione dei sensi, o all'elaborazione dei dati da parte della mente. Ad esempio, è possibile creare un suono che sembra crescere sempre, mentre in realtà è ciclico. Per il tatto, basta provare con un compasso a due punte: sul polpastrello si percepiscono due punte separate di pochi millimetri, mentre sulla schiena se ne percepisce solo una anche a qualche centimetro. Oppure si immergono le mani in due bacinelle di acqua una calda ed una fredda; dopo un paio di minuti si immergono enrtambe in una bacinella tiepida, e si avranno sensazioni contrastanti: fredda e calda. Le illusioni ottiche sono un altro esempio di paradossi sensoriali.

I primi paradossi

---

Il più antico paradosso si ritiene essere il paradosso di Epimenide, in cui il Cretese Epimenide afferma: "Tutti i cretesi sono bugiardi". Poiché Epimenide era originario di Creta, la frase è paradossale. A rigor di logica, moderna ovviamente, questo non è un vero paradosso: detta p la frase di Epimenide, o è vera p o è vera non p. Il contrario di p è Non tutti i cretesi sono bugiardi, ossia Qualche cretese dice la verità, Epimenide non è uno di quelli, e la frase è falsa. Tuttavia la negazione dei quantificatori non era ben chiara nella logica degli antichi greci. Subito dopo troviamo i paradossi di Zenone. Un altro famoso paradosso dell'antichità, questo sì irresolubile, è il paradosso di Protagora, più o meno contemporaneo di Zenone di Elea.

Classificazione dei paradossi

---

Esistono varie forme di classificazione dei paradossi. Secondo le loro implicazioni, i paradossi si dividono in

• Positivi od ontologici
• Nulli o retorici
• Negativi o logici

a seconda delle loro implicazioni. Un paradosso si dice positivo se attraverso un ragionamento paradossale rafforza le conclusioni a cui si arriva: un esempio ne è la teoria della relatività ristretta. Un paradosso nullo o retorico deriva dal tipico ragionamento sofista, che dimostra una cosa ed il suo contrario, come i già citati paradossi di Zenone. Infine, i paradossi negativi portano il ragionamento a partire da un'ipotesi alla negazione della stessa, e sono in pratica una dimostrazione per assurdo della falsità dell'ipotesi di partenza. Di quest'ultimo tipo sono molti teoremi matematici e fisici, come ad esempio il teorema dell'infinità dei numeri primi o il teorema di Church.

Se invece categorizziamo che cosa ci appare paradossale secondo i nostri sensi, abbiamo i paradossi visivi, auditivi, tattili, gustativi e olfattivi, più spesso indicati come anomalie o ambiguità, e i paradossi logici e matematici che sono categoria a sè.

Paradossi dell'induzione

---

Molti ritengono David Hume responsabile di aver introdotto il problema dell'induzione. In realtà, nella versione del paradosso del sorite, tale problema era noto sin dai tempi di Zenone, vero padre del pensiero paradossale. Il paradosso del sorite afferma:

"Un granello di sabbia che cade non fa rumore, quindi nemmeno due, e nemmeno tre, e così via. Quindi nemmeno un mucchio di sabbia che cade fa rumore".

Oppure il suo inverso: se tolgo un granello di sabbia ad un mucchio, è ancora un mucchio, così se ne tolgo due e così via. Tuttavia 10 granelli non fanno un mucchio. Qual è allora il granello che fa passare da un mucchio ad un non-mucchio? Anche se questo problema può essere risolto con la logica fuzzy, ponendo una funzione che al variare dei granelli restituisca un valore compreso tra 0 e 1, ben più difficile è la risoluzione del seguente paradosso:

0 è un numero piccolo

1 è un numero piccolo

Per l'assioma dell'induzione, se una proprietà vale per 0 e se, dall'ipotesi che valga per un generico n discende che vale anche per n+1, allora vale $\backslash forall\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$

Quindi ogni numero è piccolo.

Questi problemi sono i principali argomenti di discussione dell'epistemologia moderna, che fondamentalmente si riassumono in Quando si può definire vera una teoria?.

Il paradosso della chiaroveggenza

---

Uno dei paradossi più intriganti della teoria dei giochi è il paradosso di Newcomb, che riguarda il principio di dominanza, ed è il seguente. Supponiamo che esista un oracolo, che sappia in anticipo quali saranno le mie decisioni. Egli mette in una busta 1.000.000 €, ma solo se sceglierò solo questa, altrimenti la lascia vuota. Poi mi vengono presentate due buste, una con sicuramente 1.000 €, e l'altra è quella dell'oracolo. Posso scegliere se prendere una sola busta o tutte e due. Se applico il principio di massima utilità, mi conviene prendere solo la seconda, e mi fido dell'oracolo. Se applico il principio di minima perdita, mi conviene sceglierle entrambe: se l'oracolo ha ragione, prendo almeno 1.000 €, se sbaglia 1.001.000 €. Il paradosso nasce dalla visione delle cose: se la scelta dell'oracolo si considera già effettuata al momento della scelta, applichiamo il principio di dominanza, e conviene prendere sempre entrambe le buste. Se invece ammettiamo che il comportamento dell'oracolo sia influenzato dalla nostra scelta, ammettiamo il principio di utilità e conviene prendere solo la prima. Uno dei due principi non è quindi razionale, oppure non esiste la preveggenza. Si possono trovare argomenti a favore di tutte e tre le ipotesi. Tra l'altro, basta che l'oracolo indovini più del 50% delle volte.

Ancora peggio, la chiaroveggenza potrebbe essere dannosa: supponiamo che ci sia una gara automobilistica della specie "Perde chi sterza per primo", in cui due macchine sono lanciate l'una contro l'altra. Se uno dei due è chiaroveggente, la strategia migliore per l'altro è non sterzare: il veggente lo sa, e quindi sterzerà per primo, se non vuole lasciarci le penne.

Tanto gentil e tanto onesta, pare...

---

Ossia così sembra ma non è, anche se le parole del Vate non avevano questo significato. Vediamo come a volte il buon senso, anche il buon senso matematico, può farci prendere degli abbagli: l'esempio più noto, forse, lo troviamo nella teoria dei numeri. In questa branca della matematica, lo studio dei numeri primi e della loro distribuzione riveste, da almeno due secoli, primaria importanza. Dopo la sconfitta dell'ultimo teorema di Fermat, resta aperta la congettura di Riemann sulla sua funzione zeta, che collega la distribuzione dei numeri primi con gli zeri di tale funzione. Finora se ne sono trovati miliardi (letteralmente) che giacciono sulla retta x=1/2, e la congettura è appunto che tutti gli zeri giacciano su questa linea. Ma smentite di quello che sembrerebbe evidente (ce ne sono miliardi...) sono famose in matematica, e una riguarda proprio i numeri primi. La quantità di numeri primi inferiori ad un certo numero, diciamo n, può essere approsimata dalla funzione logaritmo integrale, o Li(n), di Gauss, definta come: $Li(x)\; =\; \backslash int^\{x\}\_0\; \backslash frac\; 1\; \{log\; (u)\}\; du$. Questo valore sembra essere sempre maggiore della vera distribuzione dei numeri, solitamente indicata con $\backslash Pi\; (n)$, fino a numeri di centinia di cifre. Tuttavia nel 1914 John Littlewood ha dimostrato che $\backslash Pi\; (x)\; -\; Li(x)$ per x intero cambia di segno infinite volte. Nel 1986 Herman te Riele ha dimostrato che esistono più 10¹⁸⁰ interi consecutivi per cui $\backslash Pi\; (x)\; -\; Li(x)$ non è mai minore di 6,62×10³⁷⁰. Altra paradossale situazione è il teorema di Goodstein: si definisce una funzione che, pur crescendo esponenzialmente e venendo ridotta ad ogni iterazione di 1, dopo innumerevoli iterazioni ritorna a 0. Il che dimostra anche, per inciso, come Ercole avrebbe potuto uccidere l'Idra di Lerna da solo, senza aiuti per cicatrizzarne le teste tagliate. Quindi, nonostante miliardi di esempi a favore, la verità o falsità della congettura (o ipotesi, visto che si pensa generalmente che sia vera) di Riemann è tuttora in discussione. Tornando al teorema di Goodstein, esso appartiene a quei teoremi di teoria dei numeri non provabili all'interno dei suoi assiomi di base, ossia quelli di Zermelo e Fraenkel, come previsto dal teorema di incompletezza di Gödel: per la sua dimostrazione, infatti, occorre postulare l'esistenza dei cardinali transfiniti.

Lista dei paradossi più noti

---

L'elenco riporta solo i paradossi più citati, per una lista più esauriente, vedere l'articolo "elenco di paradossi"

• Antinomie kantiane
• Paradosso dei gemelli
• Paradosso del mentitore
• Paradosso dell'Alabama
• Paradosso di Condorcet
• Paradosso di Russell
• Paradossi di Zenone
• Paradosso idrodinamico

Voci correlate

---

• Logica
• Matematica
• Ossimoro

Bibliografia

---

• Odifreddi, P., C'era una volta un paradosso - storie di illusioni e verità rovesciate, Einaudi, 2001, ISBN 8806150901
• te Riele, H.J.J., On the sign of the difference pi(x) - li(x), Math. Comp. 48, 1987 pp. 323-328

Collegamenti esterni

---

• Fast-Growing Functions and Unprovable Theorems (How Hercules Beat the Hydra.)

Filosofia del linguaggio | Logica | Paradossi

Paradoxa | Paradox | Paradoks | Paradoxon | Paradox | Paradokso | Paradoja | Paradoksi | Paradoxe | Paradoxo | פרדוקס | Paradoxon | Paradoks | Paradoxo | パラドックス | Paradoksas | Paradox (logica) | Paradoks | Paradoks | Paradoxo | Парадокс | Paradox | Paradox | Paradoks | 悖论