Nella matematica, un numero quadrato, chiamato anche quadrato perfetto, è un intero che può essere scritto come il quadrato di un altro numero, cioè è uguale ad un altro numero moltiplicato per sé stesso. Ad esempio, 9 è un numero quadrato in quanto può essere scritto come 3 × 3. Se si considerano anche i numeri razionali, allora il rapporto di due quadrati è un quadrato (ad esempio, 2/3 × 2/3 = 4/9).

Un numero m è un numero quadrato se e solo se è possibile disporre m punti a formare un quadrato:

I primi 50 quadrati (sequenza A000290 nell'OEIS) sono:

La formula dell'n-esimo quadrato è n²; per questo, l'elevazione alla seconda potenza è chiamata anche elevazione al quadrato.

L'n-esimo quadrato è inoltre equivalente alla somma dei primi n numeri dispari, come si può vedere dalle figure sopra, dove un quadrato viene ottenuto dal precedente aggiungendo un numero dispari di punti. Ad esempio:

5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

L'n-esimo numero quadrato può essere calcolato dai precedenti due nel seguente modo:

n² = 2 × (n-1)² - (n-2)² + 2

6² = 2×5² - 4² + 2 = 2×25 - 16 + 2 = 50 - 16 + 2 = 36

Un numero quadrato equivale anche alla somma di due numeri triangolari consecutivi. La somma di due numeri quadrati consecutivi è un numero quadrato centrato. Ogni quadrato dispari è anche un numero ottagonale centrato.

Il teorema dei quattro quadrati dice che ogni intero positivo può essere scritto come somma di 4 quadrati o meno. 3 quadrati non sono sufficienti per i numeri nella forma 4^k(8l + 7). Un intero positivo può essere scritto come somma di due quadrati se e solo se la sua fattorizzazione non contiene potenze di numeri primi nella forma 4k+3. Questo risultato è generalizzato nel problema di Waring.

Un intero positivo che non ha come divisore nessun quadrato perfetto ad eccezione di 1 si chiama libero da quadrati.

Poiché il prodotto di due numeri negativi è positivo, così come quella di due numeri positivi, nessun quadrato è negativo. Ciò ha conseguenze importanti. Ne deriva, in particolare, che non si possa estrarre la radice quadrata di un numero all'interno dei numeri reali. Questo lascia una mancanza nell'insieme dei reali che i matematici hanno riempito creando i numeri immaginari, a cominciare da i, che è per convenzione la radice di -1.

L'elevazione a quadrato è utile in statistica nella determinazione della deviazione standard di un campione dalla sua media. Per ogni dato viene fatta la differenza con la media ed il risultato è elevato al quadrato. La media della serie di numeri trovata (ognuno dei quali è positivo o nullo) è la varianza, e la sua radice è la deviazione standard - in finanza, la volatilità. Un modo per trovare il quadrato di un numero n è quello di prendere due numeri che abbiano n per media, moltiplicarli fra loro e sommare il quadrato dello scostamento dalla media. Ad esempio:

21² = 20 × 22 + 1² = 441

Questo funziona come conseguenza dell'identità:

(x-y)(x+y)=x²–y²

conosciuta come differenza di quadrati.

Collegamenti esterni

• http://www.alpertron.com.ar/FSQUARES.HTM è un'applet Java che scompone un numero naturale nella somma di un massimo di quattro quadrati

Voci correlate

• Numero triangolare
• Numero poligonale
• Numero quadrato triangolare
• Identità dei quattro quadrati di Eulero
• Numero automorfo
• Numeri quadrati da 1 a 1000

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