Un monoide è un insieme M munito di una singola operazione binaria, chiamata prodotto, che ad ogni coppia di elementi a, b di M associa un elemento ab, rispettando i seguenti assiomi:

G0) magma :per ogni a, b appartenenti a M, il loro prodotto ab appartiene ancora a M, vale a dire, M è chiuso rispetto al prodotto

G1) Semigruppo. Il prodotto è associativo: dati a, b, c appartenenti a M, vale $(ab)c\; =\; a(bc)$.

G2) Esiste in M un (unico) elemento neutro e tale che $ae\; =\; ea\; =\; a$.

Un monoide è quindi un Semigruppo unitario, ovvero un Magma associativo unitario.

Un monoide che ammetta inverso, cioè per cui valga

G3) Ad ogni elemento a di M è associato un elemento b, detto inverso di a, tale che $ab\; =\; ba\; =\; e$.

è un gruppo.

Un esempio tipico di monoide è dato dalle funzioni f: X → X definite da un insieme in sé stesso, dove il prodotto è dato dalla composizione (fg)(x):= (f o g)(x) = f(g(x)). L'elemento neutro è dato dalla funzione identità id : X → X, id(x):= x.

Voci correlate

• altre strutture algebriche

Teoria dei semigruppi

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