Il modello di Black-Scholes-Merton, spesso semplicemente detto di Black-Scholes, è un modello dell'andamento nel tempo del prezzo di strumenti finanziari, in particolare delle azioni. La formula di Black e Scholes è una formula matematica per il prezzo di non arbitraggio di un'opzione call o put di tipo europeo, che può essere derivata a partire dalle ipotesi del modello; lo stesso può dirsi per la formula di Black, per la valutazione di opzioni su futures. L'equazione alla base della formula è stata originariamente derivata da Fischer Black e Myron Scholes, in un lavoro del 1973, sulla base di precedenti ricerche di Robert Merton e Paul Samuelson. L'intuizione fondamentale del modello di Black e Scholes è che un titolo derivato è implicitamente prezzato se il sottostante è scambiato sul mercato. La formula di Black e Scholes è largamente applicata nei mercati finanziari. Merton e Scholes hanno ricevuto nel 1997 il Premio della Banca di Svezia per le scienze economiche in memoria di Alfred Nobel (Premio Nobel per l'economia) per il loro lavoro (Black morì nel 1995).

Ipotesi del modello

---

• Il prezzo del sottostante segue un moto browniano geometrico (si veda anche oltre);
• È consentita la vendita allo scoperto del sottostante, come dello strumento derivato;
• Non sono ammesse opportunità d'arbitraggio non rischioso;
• Il sottostante e lo strumento derivato sono scambiati sul mercato in tempo continuo;
• Non sussistono costi di transazione, tassazione, né frizioni di altri tipo nel mercato;
• Vige la perfettà divisibilità di tutte le attività finanziarie (è possibile scambiare frazioni arbitrariamente piccole di ogni titolo sul mercato);
• Il tasso d'interesse privo di rischio $\backslash \; r$ è costante, e uguale per tutte le scadenze.

Derivazione dell'equazione di Black-Scholes

---

Si consideri uno strumento derivato il cui prezzo è denotato da $\backslash \; f(S\_\{t\},t)$, dove $\backslash \; S\_\{t\}$ è il prezzo del sottostante; obiettivo dell'analisi è determinare le condizioni che devono essere soddisfatte da $\backslash \; f(\backslash cdot)$, sotto l'ipotesi di assenza di opportunità d'arbitraggio. Si ipotizza che il sottostante segua un processo di moto browniano geometrico, descritto tramite l'equazione differenziale stocastica:

$\backslash \; dS=\backslash mu\; Sdt\; +\; \backslash sigma\; S\; dW\_\{t\}$

L'equazione costituisce propriamente il modello di Black-Scholes-Merton per il prezzo di un'attività finanziaria.

Si costruisce quindi un portafoglio fittizio:

$\backslash \; \backslash pi=f-\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; S\}S$

Si osservi che $\backslash \; \backslash partial\; f/\backslash partial\; S$ altro non è che la Delta dello strumento derivato. Applicando il Lemma di Itô, si determina l'equazione differenziale stocastica che $\backslash \; \backslash pi$ deve soddisfare:

$\backslash \; d\backslash pi=\; df\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; S\}dS\; =\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; S\}\backslash mu\; S\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sigma^\{2\}S^\{2\}\backslash frac\{\backslash partial^\{2\}f\}\{\backslash partial\; S^\{2\}\}\backslash right)dt\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; S\}\backslash sigma\; S\; dW\_\{t\}\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; S\}\backslash mu\; Sdt\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; S\}\backslash sigma\; SdW\_\{t\}$

A questo punto, si impone che il portafoglio $\backslash \; \backslash pi$ sia privo di rischio su un intervallo di tempo infinitesimo; sotto l'ipotesi di assenza di opportunità di arbitraggio, ciò equivale a imporre:

$\backslash \; d\backslash pi=r\backslash pi\; dt=\; r\backslash left(f\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; S\}S\backslash right)dt$

Eguagliando le due relazioni così ottenute, si ottiene l'equazione di Black-Scholes:

$\backslash \; rS\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; S\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sigma^\{2\}S^\{2\}\backslash frac\{\backslash partial^\{2\}f\}\{\backslash partial\; S^\{2\}\}-rf=0$

Si tratta di un'equazione alle derivate parziali parabolica; la relazione sopra dovrà essere soddisfatta, in assenza di opportunità d'arbitraggio, dal prezzo di un qualsiasi strumento derivato.

La definizione di condizioni al contorno alternative consente di caratterizzare strumenti derivati alternativi. La soluzione dell'equazione di Black-Scholes può essere ottenuta tramite il metodo della separazione delle variabili (utilizzato da Black e Scholes nel loro lavoro del 1973), oppure sfruttando la formula di Feynman-Kac, che consente di esprimere la soluzione come un valore atteso, aprendo così la via a soluzioni numeriche, ottenute tramite simulazione Monte Carlo.

Articoli collegati

---

• Matematica finanziaria;
• Moto browniano geometrico;
• Formula di Black e Scholes;
• Formula di Black;
• Opzione call;
• Opzione put.

Riferimenti bibliografici

---

Contributi storici

• Black, F. e Scholes, M. (1973), The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy 81, 637-654;
• Merton, R. (1973), Theory of Rational Option Pricing, Bell Journal of Economics and Management Science 4(1), 141-183.

Manualistica

• Hull, J.C. (2000), Options, Futures and Other Derivatives, Prentice-Hall, ISBN 0-13-02444-8; il testo introduttivo alla teoria degli strumenti derivati di riferimento, di livello universitario pre-dottorato (in inglese);
• Hull, J.C. (2003), Opzioni, Futures e Altri Derivati, Il Sole 24Ore Libri, (edizione italiana del volume).

Economia finanziaria | Matematica finanziaria

Black-Scholes-Modell | Black–Scholes | Black-Scholes | Modèle Black-Scholes | ブラック-ショールズ方程式 | Wzór Blacka-Scholesa | 布莱克-舒尔斯定价模型