Magma (matematica)

Un magma (o gruppoide) è un insieme M in cui è definita una singola operazione binaria che ad ogni coppia di elementi a, b di M associa l'elemento a*b. L'unico assioma soddisfatto dall'operazione in un magma è quello di chiusura:

per ogni a, b appartenenti a M, l'elemento a*b appartiene ancora a M

che potrebbe tra l'altro essere tralasciato nella definizione, una volta stabilito che l'operazione è una funzione del tipo M x M → M.

I magmi costituiscono una struttura algebrica molto semplice e generale che gode di poche proprietà, è utile per accomunare in un'unica famiglia le strutture con una singola operazione binaria.

Il termine magma, è stato introdotto in matematica da Bourbaki nel volume sulle strutture algebriche, insieme alla nozione di legge di composizione interna. Il termine gruppoide è anche utilizzato per definire questa struttura. Si noti tuttavia che il termine gruppoide è più comunemente usato con un secondo significato, per denotare un altro tipo di struttura algebrica e una categoria.

Particolarizzazioni e piccoli arricchimenti dei magmi

quasigruppo: magma nel quale è definita ovunque la divisione (v.a. quadrato latino),
loop: quasigruppo dotato di elementi unità;
semigruppo: magma con l'operazione associativa;
monoide: semigruppo dotato di elemento unità;
semigruppo abeliano: semigruppo con l'operazione commutativa;
monoide abeliano: monoide con l'operazione commutativa;
semireticolo: semigruppo abeliano con l'operazione idempotente;
gruppo: monoide nel quale ogni elemento possiede elemento inverso, o equivalentemente, quasigruppo associativo;
gruppo abeliano: gruppo con l'operazione commutativa;

Possibili caratterizzazioni

Un magma (S , *) viene chiamato

mediale se soddisfa l'identità xy * uz = xu * yz (i.e. (x * y) * (u * z) = (x * u) * (y * z) per ogni x, y, u, z in S),
semimediale a sinistra se soddisfa l'identità xx * yz = xy * xz,
semimediale a destra se soddisfa l'identità yz * xx = yx * zx,
semimediale se è semimediale a sinistra e a destra,
distributivo a sinistra se soddisfa l'identità x * yz = xy * xz,
distributivo a destra se soddisfa l'identità yz * x = yx * zx,
autodistributivo se è distributivo a sinistra e a destra,
commutativo se soddisfa l'identità xy = yx,
idempotente se soddisfa l'identità xx = x,
unipotente se soddisfa l'identità xx = yy,
zeropotente se soddisfa l'identità xx * y = yy * x = xx,
alternativo se soddisfa le identità xx * y = x * xy and x * yy = xy * y,
power associative se il sottomagma generato da ogni suo elemento è associativo,
semigruppo se soddisfa l'identità x * yz = xy * z (associatività),
semigruppo con zeri a sinistra se soddisfa l'identità x = xy,
semigruppo con zeri a destra se soddisfa l'identità x = yx,
semigruppo con moltiplicazione a zero se soddisfa l'identità xy = uv,
unario a sinistra se soddisfa l'identità xy = xz,
unario a destra se soddisfa l'identità yx = zx,
trimediale se ogni terna di suoi (non necessariamente distinti) elementi generano un sottomagma mediale;
entropico se è immagine omomorfa di un magma mediale a cancellazione.

Magma libero

Un magma libero sopra un insieme X svolge il ruolo del "magma più grande possibile" generato da X; infatti ai generatori non si impone alcuna relazione o assioma; vedi oggetto libero). Esso si può descrivere in termini familiari nell'informatica, come magma degli alberi binari saturi con foglie etichettate da elementi di X. La composizione di tali oggetti è la saldatura di due alberi ad una nuova radice. Esso quindi ha un ruolo fondazionale per la sintassi.

Voci correlate

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Magma libero

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