Nella logica matematica una teoria del primo ordine è una teoria formale in cui è possibile esprimere enunciati e dedurre le loro conseguenze logiche in modo del tutto formale e meccanico.

Definizione

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Gli elementi che definiscono una teoria del primo ordine sono:

• un alfabeto, ovvero un insieme finito di simboli,
• un linguaggio del primo ordine costituito da un insieme di formule ben formate che rappresentano enunciati di senso compiuto,
• un insieme di assiomi logici, cioè un insieme di formule che esprimono le relazioni logiche relative ai connettivi logici e ai quantificatori,
• un insieme di assiomi propri che stabiliscono alcune relazioni fondamentali tra gli oggetti della teoria non deducibili dagli assiomi logici (come l'assioma "per due punti passa una e una sola retta"),
• un insieme di regole di inferenza che stabiliscono quando una formula è una conseguenza logica di un'altra

Esempi di teorie del primo ordine sono l'aritmetica di Peano e l'aritmetica di Robinson.

Dimostrazioni formali

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Una dimostrazione di una formula $\backslash varphi$ in una teoria del primo ordine T è una sequenza ordinata di formule

$(\backslash varphi\_1,\backslash varphi\_2,...,\backslash varphi\_n)$

tale che

• $\backslash varphi\_n=\backslash varphi$
• ogni formula $\backslash varphi\_i$ o è un assioma di T o è deducibile da una o più formule ad essa precedenti mediante una regola di inferenza.

Una formula che ha una dimostrazione formale in T si dice dimostrabile o derivabile. Se la formula $\backslash varphi$ è dimostrabile in T si usa la notazione

$\backslash vdash\_T\; \backslash varphi$

o semplicemente

$\backslash vdash\; \backslash varphi$

se la teoria di riferimento è evidente dal contesto.

Proprietà sintattiche

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Una teoria del primo ordine T si dice:

• sintatticamente completa se per ogni formula $\backslash varphi$ si ha

$\backslash vdash\_T\; \backslash varphi$ oppure $\backslash vdash\_T\; \backslash neg\; \backslash varphi$

• sintatticamente consistente se non esiste nessuna formula $\backslash varphi$ per cui si ha

$\backslash vdash\_T\; \backslash varphi$ e contemporaneamente $\backslash vdash\_T\; \backslash neg\; \backslash varphi$

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