Concetto base

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Nella meccanica classica, il lavoro di una forza costante $\backslash vec\; F$ lungo un percorso rettilineo è definito come il prodotto scalare del vettore forza per il vettore spostamento $\backslash vec\; s$:

$L\; =\; \backslash vec\; F\; \backslash cdot\; \backslash vec\; s\; =\; \backslash left|\; \backslash vec\; F\; \backslash right|\; \backslash cdot\; \backslash left|\; \backslash vec\; s\; \backslash right|\; \backslash cdot\; \backslash cos\; \backslash alpha$

dove L è il lavoro e α l'angolo tra la direzione della forza e la direzione dello spostamento.

Mehaaniline töö.png

Il lavoro può essere sia positivo che negativo, il segno dipende dall'angolo $\backslash alpha$ compreso tra il vettore forza $\backslash vec\; F$ ed il vettore spostamento $\backslash vec\; s$. Il lavoro svolto dalla forza è positivo se ovvero se $\backslash cos\; \backslash alpha\; >0$. Un lavoro positivo è definito motore, uno negativo, invece, resistenza.

Il termine utilizzato in fisica differisce dalla definizione usuale di lavoro, che è decisamente antropomorfa. Infatti si compie un lavoro se si ha uno spostamento e se questo spostamento non è chiuso (cioè ritorna al punto di partenza). Ad esempio se si spinge contro un muro, naturalmente il muro non si sposta e, quindi, non si ha lavoro.

Casi particolari di forza lavoro.png

Quando la forza ha la stessa direzione dello spostamento, il prodotto scalare equivale al prodotto aritmetico dei moduli dei due vettori: $\backslash alpha=0^\backslash circ\backslash rightarrow\backslash cos\backslash alpha=1\backslash rightarrow\; L=\backslash left|\backslash vec\; F\backslash right|\backslash cdot\backslash left|\backslash vec\; s\backslash right|$. Anche nel caso di forza parallela ma opposta allo spostamento, l'espressione del lavoro si riduce al prodotto aritmetico dei moduli, ma con segno opposto: $\backslash alpha=180^\backslash circ\backslash rightarrow\backslash cos\backslash alpha=-1\backslash rightarrow\; L=-\backslash left|\backslash vec\; F\backslash right|\backslash cdot\backslash left|\backslash vec\; s\backslash right|$. Quando forza e spostamento sono perpendicolari, il lavoro è nullo: $\backslash alpha=90^\backslash circ\backslash rightarrow\backslash cos\backslash alpha=0\backslash rightarrow\; L=0$.

Esempi elementari di lavoro in fisica classica

• In termodinamica un gas perfetto esercita una pressione P sulle pareti del contenitore in cui viene tenuto. Se una di queste pareti (di area A) è mobile e si sposta di una quantità infinitesima dS sotto l'azione di questa pressione allora il lavoro infinitesimo compiuto dal gas è dato da $dL=PAdS$.

• In un circuito elettrico il lavoro infinitesimo compiuto dalla batteria che genera la differenza di potenziale per far circolare una corrente elettrica I per un tempo infinitesimo dt è data da $dL=EIdt$, il segno di tale lavoro sarà positivo o negativo a seconda che rispettivamente la pila eroghi o assorba corrente.

Definizione

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Più in generale, si definisce lavoro lineare elementare di una forza dipendente dal punto $\backslash vec\; F(\backslash vec\; r)$ associato allo spostamento elementare $d\backslash vec\; s$ lungo la traiettoria $\backslash gamma$, la forma differenziale:

$dL\; =\; \backslash vec\; F\; \backslash cdot\; d\backslash vec\; s\; =\; \backslash vec\; F\; \backslash cdot\; \backslash vec\; v\; dt$

che in termini di coordinate cartesiane, si può esprimere come:

$dL\; =\; F\_x\; dx\; +\; F\_y\; dy\; +\; F\_z\; dz$

Il lavoro lungo una curva $\backslash gamma$ è definito come l'integrale di linea della forma differenziale $dL$

$L\; =\; \backslash int\_\backslash gamma\; dL\; =\; \backslash int\_\backslash gamma\; \{\backslash vec\; F(\backslash vec\; r)\}\; \backslash cdot\; \backslash operatorname\; d\; \backslash vec\; s$

ovvero l'integrale di linea della forza $\backslash vec\; F(\backslash vec\; r)$ lungo la curva $\backslash gamma$.

Il lavoro può essere definito anche a partire da un momento:

$dL\; =\; \backslash vec\; F\; \backslash cdot\; d\backslash vec\; s\; =\; \backslash vec\; F\; \backslash cdot\; \backslash vec\; v\; \backslash cdot\; dt\; =\; \backslash vec\; F\; \backslash cdot\; \backslash left\; (\backslash vec\{\backslash omega\}\; \backslash times\; \backslash vec\; \{OP\}\; \backslash right)\; dt=\backslash vec\backslash omega\backslash cdot\backslash left(\backslash vec\{OP\}\backslash times\backslash vec\; F\backslash right)=d\backslash vec\backslash theta\backslash cdot\backslash vec\; M\_o$

Il lavoro finito del momento corrispondente ai due spostamenti angolari $\backslash theta\_1$ e $\backslash theta\_2$ è formalmente uguale all'integrale:

$L\; =\; \backslash int\_\{\backslash theta\_1\}^\{\backslash theta\_2\}\; \backslash vec\; \{M\_o\}\; \backslash cdot\; d\backslash vec\; \{\backslash theta\}$

In generale, il lavoro dipende dalla traiettoria per andare da A a B; la forza essendo un vettore dipende dalle coordinate e varia al variare del tempo. Possiamo restringerci al caso di forze per le quali il lavoro è funzioe solo delle posizioni iniziale e finale della traiettoria e non dalla traiettoria seguita.

Se il campo di forze $\backslash vec\; F(\backslash vec\; r)$ è tale che il lavoro non dipende dal particolare cammino seguito, ma solo dalla posizione iniziale $\backslash vec\; r\_A$ e dalla posizione finale $\backslash vec\; r\_B$, allora il campo è detto conservativo. In tale caso è possibile definire una funzione scalare, detta energia potenziale, la cui variazione tra i punti $\backslash vec\; r\_A$ e $\backslash vec\; r\_B$ rappresenta il lavoro compiuto dalle forze per andare da A a B (per quanto detto prima lungo un qualunque percorso).

$L\; =\; U\; (\; \{\backslash vec\; r\_A\})\; -\; U\; (\backslash vec\; r\_B)$.

Il concetto continua a valere se U non dipende dalla "posizione" ma da uno "stato", oppure da una posizione nello spazio delle fasi del sistema: ovviamente sostituendo $\backslash vec\; r$ con l'equivalente nel caso in questione. Un esempio è il diagramma Pressione/Volume usato per le macchine termiche.

Il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti su un corpo è uguale alla variazione della sua energia cinetica (vedi anche Teorema dell'energia cinetica).

Unità di misura

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Nel Sistema Internazionale l'unità di misura per il lavoro è il joule che corrisponde allo spostamento di 1 metro di una forza unitaria misurata in newton:

$\backslash mathrm\{J\}=\backslash mathrm\{N\}\backslash mathrm\{m\}=\backslash mathrm\{kg\; m^2s^\{-2\}\}$

Tra le altre unità di misura del lavoro ricordiamo il chilogrammetro, l'erg e l'elettronvolt.

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• Campo di forze
• Energia potenziale
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