Isomorfismo

In matematica, un isomorfismo (dal Greco isos = uguale e morphé = forma) è un tipo di applicazione fra oggetti matematici dotati di strutture ideato da Eilhard Mitscherlich (1814-1863).

Introduzione generale

Douglas Hofstadter ha fornito una definizione informale:

La parola "isomorfismo" si usa quando due strutture complesse possono essere mappate una nell'altra, in modo che per ogni parte di una struttura c'è una parte corrispondente nell'altra struttura, dove "corrispondente" significa che le due parti giocano ruoli simili nelle loro rispettive strutture. ( Un'Eterna Ghirlanda Brillante, p. 49)

Più formalmente, un isomorfismo è un'applicazione biiettiva f tra due insiemi dotati di strutture della stessa specie tale che sia f che la sua inversa f⁻¹ sono omomorfismi, cioè applicazioni che preservano le caratteristiche strutture. Questa nozione ha portata molto vasta, in quanto si possono prendere in considerazione molte specie di strutture e moltissime strutture specifiche. Si possono inoltre considerare isomorfismi tra oggetti non costruiti su un insieme sostegno, ad esempio su due processi.

Se esiste un isomorfismo fra due strutture, chiamiamo le due strutture isomorfe. Due strutture isomorfe, a un certo livello di astrazione, si possono considerare essenzialmente uguali; ignorando le identità specifiche degli elementi degli insiemi sottostanti ad esse e focalizzandosi solo su aspetti rilevanti delle strutture stesse, le due strutture si possono identificare. Ecco alcuni esempi quotidiani di strutture isomorfe.

Un cubo compatto composto da legno e un cubo compatto composto da piombo sono entrambi cubi compatti; anche se il loro materiale è differente, le loro strutture geometriche sono isomorfe.
Un normale mazzo di 52 carte da gioco con dorso verde e un normale mazzo di carte con dorso marrone; anche se il colore del dorso è differente, i mazzi sono strutturalmente isomorfi: le regole per un gioco con 52 carte o l'andamento di una partita di un tale gioco sono indifferrenti dal mazzo che scegliamo.
La Torre dell'Orologio di Londra (che contiene il Big Ben) e un orologio da polso; anche se gli orologi variano molto in dimensione, i loro meccanismi di calcolo del tempo sono isomorfi.
Un dado a sei facce e una borsa da cui viene scelto un numero da 1 a 6; anche se il metodo usato per ottenere un numero è differente, le loro capacità di generare successioni di numeri pseudocasuali sono isomorfe. Questo è un esempio di isomorfismo funzionale, senza l'assunzione di un isomorfismo geometrico.

Strutture

Per ogni struttura assegnata ad un insieme esiste una definizione formale "naturale" di isomorfismo.

Insiemi ordinati

Se un oggetto consiste in un insieme X con un ordinamento ≤ e un altro oggetto consiste in un insieme Y con un ordinamento

\sqsubseteq

, allora un isomorfismo da X a Y è una funzione biiettiva f : X → Y tale che

f(u) \sqsubseteq f(v)

sse u ≤ v.

Tale isomorfismo è detto isomorfismo d'ordine o isotonia.

Operazioni binarie

Se su due insiemi X e Y sono definite le operazioni binarie arbitrarie

\star

\Diamond

rispettivamente, allora un isomorfismo da X a Y è una funzione biiettiva f : X → Y tale che

f(u) \Diamond f(v) = f(u \star v)

per ogni u, v in X. Quando gli oggetti in questione sono gruppi, tale isomorfismo è detto isomorfismo di gruppi. Analogamente, se gli oggetti sono campi, quindi dotati ciascuno di due operazioni, e la funzione biiettiva si comporta come sopra per entrambe, è detto isomorfismo di campi.

Nell'algebra universale si può dare una definizione generale di isomorfismo che copre questi e molti altri casi. La definizione di isomorfismo data nella teoria delle categorie è ancora più generale.

Teoria dei grafi

Nella teoria dei grafi, un isomorfismo fra due grafi G e H è un'applicazione biiettiva f dai vertici di G ai vertici di H che preserva la "struttura relazionale" nel senso che c'è uno spigolo o un arco dal vertice u al vertice v se e solo se c'è un analogo collegamento dal vertice f(u) al vertice f(v) in H.

Spazi vettoriali

Nell'algebra lineare un isomorfismo fra due spazi vettoriali è una trasformazione biiettiva che sia anche lineare.

Voci correlate

Nozioni algebriche generali | Teoria delle categorie