Insieme complemento

Nella teoria degli insiemi e in altri campi della matematica, esistono due tipi di insieme complemento, il complemento relativo (detto anche insieme differenza) e il complemento assoluto.

Complemento relativo

B minus A, relative complement (set teory, Venn diagram).PNG

Avendo due insiemi A e B, il complemento di A rispetto ad B o l'insieme differenza B meno A, è formato dai soli elementi di B che non appartengono ad A. Esso si indica solitamente come $\mathcal{C}_AB$ oppure $A\setminus B$ oppure ancora come $\,\!A - B$ . Formalmente abbiamo:

\mathcal{C}_AB = A\setminus B = A - B = \{ x \in A | x \notin B \}

'''Esempi

{1,2,3,4,5} - {3} = {1,2,4,5}
{a,b,c,d} - {c,d,e,f} = {a,b}
{1,2,3} − {2,3,4} = {1}
{2,3,4} − {1,2,3} = {4}

Proposizioni

Se A, B e C sono insiemi, allora valgono le seguenti identità:

$C - \left ( A \cap B \right ) = \left ( C - A \right ) \cup \left ( C - B \right )$
$C - \left ( A \cup B \right ) = \left ( C - A \right ) \cap \left ( C - B \right )$
$C - (B - A) = ( A \cap C ) \cup ( C - B )$
$( B - A ) \cap C = ( B \cap C ) - A = B \cap ( C - A )$
$( B - A ) \cup C = ( B \cup C ) - ( A - C )$
$A - A = \varnothing$
$\varnothing - A = \varnothing$
$A - \varnothing = A$

Complemento assoluto

Absolute complement (set teory, Venn diagram).PNG Il complemento assoluto è un caso particolare del complemento relativo.

Se è definito un insieme universo U, si definisce complemento assoluto di A, il complemento relativo di A rispetto ad U. Formalmente abbiamo:

\bar A = U - A = \{ x \in U | x \notin A \}

Il complemento assoluto rappresenta anche il NOT nell'algebra Booleana.

A titolo di esempio, se l’insieme universale è l’insieme dei numeri naturali, allora il complemento dell’insieme dei numeri dispari è l’insieme dei numeri pari.

La prossima proposizione riporta alcune proprietà fondamentali del complemento assoluto in rapporto alle operazioni insiemistiche di unione e intersezione.

PROPOSIZIONE 2: Se A e B sono sottoinsiemi di un insieme universo U, allora valgono le seguenti identità:

leggi di De Morgan:

(A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C
(A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C

Leggi di complementarità:

A ∪ A^C = U
A ∩ A^C = Ø
Ø^C = U
U^C = Ø
Se A⊆B, allora B^C⊆A^C (ciò segue dall’equivalenza di una proposizione condizionale con la proposizione contronominale)

Involuzione o legge del doppio complemento:

A^C^C = A.

Relazioni tra complemento relativo e complemento assoluto:

A − B = A ∩ B^C
(A − B)^C = A^C ∪ B

Le prime due leggi di complementarità mostrano che se A è un sottoinsieme non vuoto di U, allora {A, A^C} è una partizione di U.

Voci correlate

Teoria degli insiemi

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Complemento assoluto

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