La funzione di Mertens, è una funzione che associa ad ogni intero positivo n il numero intero denotato con M(n) ottenuto come la somma dei valori assunti dalla funzione di Möbius in corrispondenza dei numeri interi compresi tra 1 ed n:

$M(n)\; :=\; \backslash sum\_\{k=1\}^\{n\}\; \backslash mu(k)$ ,

dove μ(k) denota la funzione di Möbius.

Essa è stata studiata dal matematico tedesco Franz Mertens (1840-1924).

Come successione di interi la funzione di Mertens compare nella OEIS in corrispondenza della sigla A002321.

Poiché la funzione di Möbius assume solo tre possibili valori (-1, 0 e +1), la funzione di Mertens, che è il suo integrale discreto, deve soddisfare la seguente disuguaglianza

$\backslash left|\; M(n)\; \backslash right|\; \backslash leq\; n$

In effetti i suoi valori al variare di n presentano un andamento oscillante e variazioni ridotte, presentano molti intervalli di stazionarietà e frequenti attraversamenti dell'asse delle ascisse.

Alcuni valori

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I primi valori sono dati dalla seguente tavola

$M(n)$	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9	+10	+11	+12	+13	+14	+15	+16	+17	+18	+19	+20
0+	1	0	-1	-1	-2	-1	-2	-2	-2	-1	-2	-2	-3	-2	-1	-1	-2	-2	-3	-3
20+	-2	-1	-2	-2	-2	-1	-1	-1	-2	-3	-4	-4	-3	-2	-1	-1	-2	-1	0	0
40+	-1	-2	-3	-3	-3	-2	-3	-3	-3	-3	-2	-2	-3	-3	-2	-2	-1	0	-1	-1
60+	-2	-1	-1	-1	0	-1	-2	-2	-1	-2	-3	-3	-4	-3	-3	-3	-2	-3	-4	-4
80+	-4	-4	-3	-4	-4	-3	-2	-1	-2	-2	-1	-1	0	1	2	2	1	1	1	1

Un'idea della lenta crescita del codominio della M(n) al crescere di n è data dai primi termini della successione dei valori $M(10^k)$, successione reperibile in OEIS in corrispondenza della sigla A084237] i cui valori per k = 0, 1, ..., 16 sono

$k$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
$M(10^k)$	1	-1	1	2	-23	-48	212	1037	1928	-222	-33722	-87856	62366	599582	-875575	-3216373	-3195437

Altre proprietà

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Mertens nel 1897 ha avanzato la congettura che valesse la disuguaglianza

$\backslash left|\; M(n)\; \backslash right|\; \backslash leq\; \backslash sqrt\; \{n\}$ ,

dopo aver verificato che essa è soddisfatta per n < 10000.

Tuttavia nel 1985 A. M. Odlyzko e H. J. J. te Riele hanno dimostrato che tale congettura è errata, con una dimostrazione che richiede una comprensione del calcolo avanzato e che non fornisce un controesempio. Il minimo valore x che falsifica la congettura è ancora sconosciuto, tuttavia è stato dimostrato che deve essere compreso tra 10¹² e 10⁶⁵.

Una ulteriore congettura di Odlyzko e te Riele ancora aperta affermerebbe che

$\backslash limsup\_\{n\; ->\; \backslash infty\}\backslash frac\{\backslash left|\; M(n)\; \backslash right|\}\{\backslash sqrt\; \{n\}\}\; =\; \backslash infty$

Il termine n-esimo della successione di Mertens fornisce il valore del determinante della matrice di Redheffer n × n.

Voci correlate

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• Congettura di Mertens
• Ipotesi di Riemann

Collegamenti esterni

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• La funzione di Martens in Mathworld

Riferimenti esterni

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• A. M. Odlyzko, H. J. J. te Riele (1985): Disproof of the Mertens conjecture, J. reine angew. Math., 357 pp. 138-160. (v. in PDF
• Valori delle funzioni di Möbius e di Mertens per n=1 ,2 ,... ,2500
• Mertens function in MathWorld

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