Un'equazione differenziale è, genericamente parlando, una relazione tra una funzione di una o più variabili e le sue derivate. Nel caso di più variabili, si parla di equazione differenziale alle derivate parziali (abbreviato con PDE, dalle iniziali delle parole inglesi partial differential equation), nel caso di una singola variabile si parla di equazione differenziale ordinaria (abbreviato con ODE, dalle iniziali di ordinary differential equation). In simboli un'equazione differenziale in una variabile può essere scritta nella forma:

$f(x,\; u(x),\; u\text{'}(x),\; ...,\; u^n(x))\; =\; 0.\; \backslash !$

Si dice ordine o grado dell'equazione il grado della più alta derivata presente, ad esempio se abbiamo y''=f(x,y,y'), allora è un'equazione differenziale del 2° ordine.

Nel caso di una funzione u a più variabili, con le relative derivate parziali, si può scrivere

$f\; \backslash left\; (\; x\_1,\; \backslash cdots\; ,\; x\_k\; ,\; u\; ,\; \backslash cdots,\; u\_\{x\_l,\; \backslash cdots\; ,\; x\_m\}^n\; \backslash right\; )\; =\; 0.$

Generalmente trovare una funzione che soddisfi l'equazione, cioè darne una soluzione esplicita, è difficile se non impossibile. Tuttavia è quasi sempre possibile un'integrazione tramite metodi di calcolo numerici.

Nel corso dei secoli, sin da prima che Leibniz e Newton formalizzassero il calcolo infinitesimale, sono stati trovati alcuni casi in cui è possibile ricavare la soluzione. Alcuni permettono di trovare una soluzione esplicita, ossia $y=f(x)\backslash ;$, altri implicita, cioè nella forma

$f(y)=g(x),\backslash ;\backslash !$

che può essere portata in forma esplicita solo se f è invertibile, nel qual caso si ha

$y=f^\{-1\}\backslash left(\; g(x)\; \backslash right\; ).$

Uso delle equazioni differenziali

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Le equazioni differenziali sono uno dei più importanti strumenti che l'analisi matematica mette a disposizione nello studio di modelli matematici nei più disparati settori della scienza, dalla fisica alla biologia all'economia. Un esempio molto elementare di come le equazioni differenziali possano emergere naturalmente nello studio dei sistemi è il seguente: supponiamo di avere una popolazione di batteri composta da $P\_0\backslash ;$ individui, chiamiamo $P(t)\backslash ;$ la popolazione al tempo $t$. È ragionevole aspettarsi che in media in ogni istante $t\backslash ;$, dopo un tempo relativamente piccolo $dt\backslash ;$, nasce una quantità di nuovi individui proporzionale alla popolazione e al tempo trascorso $dt\backslash ;$, cioè pari a $n\; P(t)\; dt\backslash ;$ dove $n\backslash ;$ è un numero costante che individua il tasso di natalità; e analogamente è ragionevole aspettarsi che muoiano $m\; P(t)\; dt\backslash ;$ individui nello stesso intervallo di tempo. La popolazione al tempo $t+dt\backslash ;$ quindi sarà data dalla popolazione al tempo $t\backslash ;$ a cui aggiungiamo la popolazione appena nata e sottraiamo quella morta, ovvero

$P(t+dt)=P(t)+nP(t)dt-mP(t)dt=P(t)+(n-m)P(t)dt.\; \backslash !$

Quindi abbiamo che

$\backslash frac\; \{P(t+dt)-P(t)\}\; \{dt\}=(n-m)P(t).$

Possiamo riconoscere in questa espressione il rapporto incrementale della funzione $P(t)$ e se $dt$ è molto piccolo possiamo sostituirlo con la derivata $P\text{'}(t)$ e scrivere perciò

$P\text{'}(t)=(n-m)P(t).\; \backslash !$

Questa è un'equazione differenziale. Risolvere questa equazione significa determinare l'andamento nel tempo della popolazione, cioè la funzione $P(t)$ che la soddisfa.

In questo caso la soluzione è facile da trovare, si tratta della funzione

$P(t)=P\_0\; e^\{(n-m)t\},\; \backslash !$

una funzione esponenziale che cresce nel tempo (in modo "esplosivo") se $n>m$, cioè se la natalità è maggiore della mortalità, e decresce fino ad annullarsi velocemente se $m>n$. Il modello che abbiamo esaminato però è molto semplificato, in generale il tasso di crescita non sarà semplicemente proporzionale alla popolazione presente con una costante fissa di proporzionalità, è ragionevole aspettarsi ad esempio che le risorse a disposizione siano limitate ed insufficienti a soddisfare una popolazione arbitrariamente grande. Si possono considerare inoltre situazioni più complicate come quella in cui ci siano più popolazioni che interagiscono tra loro, come ad esempio prede e predatori nel modello di Volterra - Lotka.

È dunque importante avere a disposizione tecniche matematiche per risolvere equazioni e sistemi di equazioni differenziali in maniera analitica, dandone quindi una soluzione esatta. Poiche non sempre ciò è possibile, sono necessari anche metodi per risolverle numericamente, cioè approssimando a mano o tramite un calcolatore la soluzione nei dintorni di uno o più punti. Inoltre anche lo studio qualitativo della struttura geometrica delle soluzioni al variare dei dati iniziali o di parametri esterni, in quanto la soluzione di un'equazione differenziale è molto spesso un'intera classe di funzioni, che dipendono da dei parametri detti generalmente condizioni iniziali o al contorno.

Approfondimenti

Per approfondire lo studio delle equazioni differenziali, è possibile consultare le seguenti voci:

• Metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie
• Metodi di soluzione numerica per equazioni differenziali
  • Metodi di soluzione numerica per equazioni differenziali ordinarie
• Studio qualitativo di equazioni differenziali ordinarie
• Teoria del controllo

Problema di Cauchy

Il problema di Cauchy associato ad una o più equazioni differenziali consiste nel risolvere il sistema formato dalle soluzioni delle equazioni e dalle condizioni iniziali. In formule:

$\backslash begin\{cases\}f(y\text{'},y\text{'}\text{'},\; \backslash dots\; ,\; y^n)=f(x\_1,x\_2,\backslash dots,x\_i,y)\backslash \backslash$

y(a_0)=y_0 \\ \dots \\ y(a_i)=y_i \end{cases}

Polinomio associato

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Il polinomio associato a un'equazione differenziale è l'equazione che si ottiene sostituendo al posto della funzione y(x) un'incognita avente lo stesso coefficiente della funzione y e grado rispettivamente uguale all'ordine di derivazione della y.

Per esempio, data l'equazione differenziale $y\text{'}\text{'}-5y\text{'}+6y=0\backslash ;$, si costruisce un'equazione nell'incognita ausiliaria $\backslash lambda\backslash ;$ secondo la regola indicata precedentemente e si ottiene $\backslash lambda^2-5\backslash lambda+6=0\backslash ;$.

Equazioni differenziali alle derivate parziali

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Una equazione alle derivate parziali è una equazione che coinvolge derivate parziali di una funzione incognita. L'idea è di descrivere la funzione indirettamente attraverso una relazione fra sè stessa e le sue derivate parziali, invece di scrivere esplicitamente la funzione. La relazione deve essere locale: deve connettere la funzione e le sue derivate nello stesso punto. Una soluzione dell'equazione è una funzione che soddisfa la relazione.

Sistemi di equazioni differenziali

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Collegamenti esterni

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• EqWorld
• MathWorld
• Modellizzazione con equazioni differenziali
• Soluzione Sistemi di equazioni differenziali lineari Qui è spiegato, con semplicità, come risolvere alcuni tipi di sistemi di eq. differenziali.

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