In fluidodinamica, l'equazione di Bernoulli rappresenta una particolare forma semplificata delle equazioni di Navier-Stokes, ottenuta in caso di flusso inviscido, dall'integrazione lungo una linea di flusso, e descrive il moto di un fluido lungo tale linea.

Nel dettaglio, le ipotesi che devono essere rispettate perché possa essere applicata l'equazione sono le seguenti:

• flusso inviscido (viscosità pari a zero)
• flusso stazionario (flusso non dipendente dal tempo)
• flusso incomprimibile ($\backslash rho$ costante)

In queste ipotesi, le equazioni di Navier-Stokes possono essere ridotte ad una forma semplificata (equazioni di Eulero), che integrate lungo una linea di flusso, conducono all'equazione di Bernoulli, che può essere espressa nella forma:

$P+\backslash rho\{v^2\; \backslash over\; 2\}+\; \backslash rho\; gh=costante$

in cui:

v rappresenta la velocità del fluido lungo la linea di flusso,

g è l'accelerazione di gravità,

h è la quota altimetrica,

P rappresenta la pressione lungo la linea di flusso,

$\backslash rho$ è la densità del fluido.

Tale equazione permette di evidenziare in maniera estremamente semplice il principio di Bernoulli, secondo il quale in un fluido, date le ipotesi, ad un decremento di pressione corrisponde un incremento di velocità.

L'equazione deve il suo nome al fisico e matematico svizzero Daniel Bernoulli (1700 - 1782).

Il Teorema di Bernoulli senza calcolo integrale

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Il teorema di Bernoulli può essere dimostrato anche senza ricorrere al calcolo integrale.

Il lavoro compiuto dalla forze di superficie per spostare il fluido di un tratto $\backslash Delta\; l$ è pari a

$L\_1\; =\; p\_1\; S\_1\backslash Delta\; l\; =\; p\_1V\_1\; \backslash ,$

dove $p\_1$ è la pressione agente sulla sezione $S\_1$, e $V\_1$ è il volume di fluido che ha attraversato $\backslash Delta\; l$.

Analogamente vi dovrà essere un lavoro per spostare il fluido presente in una sezione a valle di $S\_1$. Tale lavoro sarà:

$L\_2\; =\; p\_2V\_2\; \backslash ,$

Ne segue che il lavoro totale compiuto dalle forze di superficie è:

$L\_S\; =\; L\_1\; +\; L\_2\; =\; p\_1V\_1\; +\; p\_2V\_2\; \backslash ,$

Il lavoro compiuto dalle forze di volume per spostare il fluido dall'altezza $h\_1$ all'altezza $h\_2$ sarà la variazione di energia potenziale gravitazionale:

$L\_V\; =\; mgh\_1\; -\; mgh\_2\; \backslash ,$

La somma di $L\_S$ ed $L\_V$, sarà uguale alla variazione di energia cinetica:

$L\_S\; +\; L\_V\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}mv\_2^2\; -\; \{1\; \backslash over\; 2\}mv\_1^2$

da cui segue che:

$p\_1V\_1\; -\; p\_2V\_2\; +\; mgh\_1\; -\; mgh\_2=\; \{1\; \backslash over\; 2\}mv\_2^2\; -\; \{1\; \backslash over\; 2\}mv\_1^2$

che equivale a:

$p\_1V\_1\; +\; mgh\_1\; +\; \{1\; \backslash over\; 2\}mv\_1^2\; =\; p\_2V\_2\; +\; mgh\_2\; +\; \{1\; \backslash over\; 2\}mv\_2^2$

dividendo quindi ambo i membri per il volume si ottiene:

$p\_1\; +\; \backslash rho\; gh\_1\; +\; \{1\; \backslash over\; 2\}\backslash rho\; v\_1^2\; =\; p\_2\; +\; \backslash rho\; gh\_2\; +\; \{1\; \backslash over\; 2\}\backslash rho\; v\_2^2$

che equivale a dire:

$p\; +\; \backslash rho\; gh\; +\; \{1\; \backslash over\; 2\}\backslash rho\; v^2\; =\; costante$

in cui:

'p' è la pressione

'$\backslash rho$' è la densità (costante) del fluido

'v' è la velocità

'g' è l'accelerazione di gravità

'h' è l'altezza

Applicazioni del Teorema di Bernoulli

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L'applicazione più famosa del teorema di Bernoulli è il calcolo della velocità di fuoriuscita di un fluido da un recipiente forato.

Si consideri un recipiente di forma qualsiasi riempito di un fluido , su cui è stato praticato un foro all'altezza $h\_0\; =\; 0$. Considerando come $S\_1$ la sezione del recipiente, $h$ l'altezza relativa ad $h\_0$ a cui si trova la superficie libera del liquido e $S\_2$ la sezione del foro si ottiene:

$p\_1\; +\; \backslash rho\; gh\; +\; \{1\; \backslash over\; 2\}\backslash rho\; v\_1^2\; =\; p\_2\; +\; \backslash rho\; gh\_0\; +\; \{1\; \backslash over\; 2\}\backslash rho\; v\_2^2$

ma $p\_1\; =\; p\_2$ quindi:

$\backslash rho\; gh\; +\; \{1\; \backslash over\; 2\}\backslash rho\; v\_1^2\; =\; \backslash rho\; gh\_0\; +\; \{1\; \backslash over\; 2\}\backslash rho\; v\_2^2$

Dal momento che $h\_0\; =\; 0$

$\backslash rho\; gh\; +\; \{1\; \backslash over\; 2\}\backslash rho\; v\_1^2\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}\backslash rho\; v\_2^2$

Ora, per la costanza del flusso $v\_1$ è trascurabile rispetto a $v\_2$ (poiché $S\_1\; >>\; S\_2$), per cui:

$\backslash rho\; gh\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}\backslash rho\; v\_2^2$

da cui segue:

$v\_2^2\; =\; 2gh$

o:

$v\_2\; =\; \backslash sqrt\{2gh\}$

anche detta velocità di efflusso torricelliana poiché Torricelli giunse allo stesso risultato nel 1644 prima dei lavori di Bernoulli.

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