In sintesi, l'effetto fotoelettrico è l'emissione di cariche elettriche negative da una superficie, solitamente metallica, quando questa viene colpita da una radiazione elettromagnetica, come ad esempio la luce visibile o la radiazione ultravioletta.

Tale effetto, oggetto di studi da parte di molti fisici, è stato fondamentale per comprendere la natura quantistica della luce.

L'esperimento di Lenard

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apparato_lenard.jpg L'effetto fotoelettrico fu rivelato da Hertz nel 1887 nell'esperimento che egli fece per generare e rivelare onde elettromagnetiche; in quell'esperimento, Hertz usò uno spinterometro in un circuito accordato per generare onde e un altro circuito simile per rivelarle. Nel 1900 Lenard studiò tale effetto, trovando che la luce incidente su una superficie metallica ne fa uscire elettroni, la cui energia non dipende dall'intensità della luce. I suoi risultati furono pubblicati sul vol. 8 di Annalen der Physik.

Quando la luce colpisce una superficie metallica pulita (il catodo C) vengono emessi elettroni. Se alcuni di questi colpiscono l'anodo A, si misura della corrente nel circuito esterno. Il numero di elettroni emessi che raggiungono l'anodo può essere aumentato o diminuito rendendo l'anodo positivo o negativo rispetto al catodo.

Detta V la differenza di potenziale tra A e C, si può vedere che solo da un certo potenziale in poi (detto potenziale d'arresto) la corrente inizia a circolare, aumentando fino a raggiungere un valore massimo, che rimane costante. Questo massimo valore è, come scoprì Lenard, direttamente proporzionale all'intensità della luce incidente. Il potenziale d'arresto è legato all'energia cinetica massima degli elettroni emessi dalla relazione

$\backslash left\; (\; \backslash frac\; \{1\}\{2\}\; m\_e\; v^2\; \backslash right\; )\_\{max\}\; =\; e\; V\_0$

dove m_e è la massa dell'elettrone, v la sua velocità, e la sua carica.

Ora, la relazione che lega le due grandezze è proprio quella indicata perché se V è negativo, gli elettroni vengono respinti dall'anodo, tranne se l'energia cinetica consente loro, comunque, di arrivare su quest'ultimo. D'altra parte si notò che il potenziale d'arresto non dipendeva dall'intensità della luce incidente, sorprendendo lo sperimentatore, che si aspettava il contrario. Infatti, classicamente, il campo elettrico portato dalla radiazione avrebbe dovuto mettere in vibrazione gli elettroni dello strato superficiale fino a strapparli al metallo. Usciti, la loro energia cinetica sarebbe dovuta essere proporzionale all'intensità della luce incidente e non alla sua frequenza, come sembrava sperimentalmente.

Emissione di raggi catodici tramite esposizione di corpi solidi

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Einstein, nel lavoro del 1905 che gli fruttò il Premio Nobel per la fisica nel 1922, fornisce una spiegazione dei fatti sperimentali partendo dal principio che la radiazione incidente possiede energia quantizzata. Infatti i fotoni che arrivano sul metallo cedono energia agli elettroni dello strato superficiale del solido; gli elettroni acquisiscono così l'energia necessaria per rompere il legame: in questo senso l'ipotesi più semplice è che il quantone cede all'elettrone tutta l'energia in suo possesso. A questo punto l'elettrone spenderà energia per arrivare in superficie e per abbandonare il solido: da qui si può capire che saranno gli elettroni eccitati più vicini alla superficie ad avere la massima velocità normale alla stessa. Per questi, posto P il lavoro (che varia da sostanza a sostanza) utile all'elettrone per uscire, si avrà che l'energia cinetica è pari a:

$\backslash frac\; \{R\}\{N\}\; \backslash beta\; \backslash nu\; -\; P$

A questo punto detta ε la carica dell'elettrone e Π il potenziale positivo del corpo e tale da impedire perdita di elettricità allo stesso (il potenziale di arresto), si può scrivere:

$\backslash varepsilon\; \backslash Pi\; =\; \backslash frac\; \{R\}\{N\}\; \backslash beta\; \backslash nu\; -\; P$

oppure, con i simboli consueti

e V₀= h ν - P

che diventa

Π È = R β ν - P'''

dove E è la carica di un grammo-equivalente di uno ione monovalente e P' il potenziale di questa quantità.

Ponendo, poi, E = 9,6 · 10³, Π · 10^-8 rappresenterà il potenziale in volt del corpo in caso di irradiazione nel vuoto.

Ora, ponendo P' = 0, ν = 1,03·10¹⁵ (limite dello spettro solare dalla parte ultravioletta), β = 4,866·10^-11, si ottiene Π·10⁷ = 4,3V: il risultato trovato è così in accordo, per quanto riguarda gli ordini di grandezza, con quanto trovato da Lenard.

Si può concludere che:

1. l'energia degli elettroni uscenti sarà indipendente dall'intensità della luce emettente e anzi dipenderà dalla sua frequenza;
2. sarà il numero di elettroni uscenti a dipendere dall'intensità della radiazione.

I risultati matematici cambiano se si rifiuta l'ipotesi di partenza (energia trasmessa totalmente)

Π E + P' ≤ R β ν

che diventa

Π E + P' ≥ R β ν

per la fotoluminescenza, che è il processo inverso.

Se poi la formula è corretta, Π(ν) riportata sugli assi cartesiani risulterà una retta con pendenza indipendente dalla sostanza. Nel 1916 Millikan esegue la verifica sperimentale di tale fatto, misurando il potenziale d'arresto e trovando che questo è una retta di ν con pendenza h/e, come previsto.

Perché con elettroni legati

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Quando un fotone colpisce la superficie del metallo, questi viene assorbito mentre l'elettrone sfugge alla superficie stessa del metallo. È interessante, ora, toccare con mano quali sono i motivi per cui un fotone non può essere assorbito da un elettrone libero.

Per l'energia dell'elettrone si può scrivere:

$\backslash hbar\; \backslash omega\; =\; \backslash frac\; \{1\}\{2\}\; m\_e\; v\_e^2\; =\; \backslash frac\; \{p\_e^2\}\{2\; m\_e\}$

da cui si ottiene il modulo dell'impulso dell'elettrone:

$p\_e\; =\; \backslash sqrt\; \{2\; m\_e\; \backslash hbar\; \backslash omega\}$

dove h è la costante di Planck, ω è detta pulsazione ed è pari a 2·π per la frequenza dell'onda incidente .

Oltre questa bisogna tener conto anche della conservazione del momento:

$p\_\backslash gamma\; =\; p\_e$

dove p_γ è l'impulso del fotone.

Il sistema è incompatibile, in quanto si hanno due equazioni e un'incognita (l'impulso dell'elettrone). Supponendo, però, di poterlo comunque risolvere, bisogna ricordare che:

$p\_\backslash gamma\; =\; \backslash frac\; \{\backslash hbar\; \backslash omega\}\{c\}$

dove c è la velocità della luce. Eguagliando le varie equazioni si ottiene:

$\backslash hbar\; \backslash omega\; =\; \backslash frac\; \{\backslash hbar^2\; \backslash omega^2\}\{2\; m\_e\; c^2\}$

da cui

h ω = 2 m_e c²

ovvero l'elettrone riceve un impulso pari a tre volte la sua massa (in energia); infatti la conservazione dell'energia può essere scritta come:

$\backslash hbar\; \backslash omega\; =\; E\_f\; =\; \backslash sqrt\; \{m^2\; c^4\; +\; p\_e^2\; c^2\}$

dove l'energia finale (quella dell'elettrone) è scritta in modo relativistico.

Sempre utilizzando equazioni relativistiche, si può vedere ancora meglio come il processo di assorbimento della radiazione sia impossibile con un elettrone libero. Si possono scrivere i quadri-impulsi iniziale e finale

$p\_i^\backslash mu\; =\; \backslash left\; (\; m\_e\; ,\; \backslash vec\; p\_\backslash gamma\; \backslash right\; )$

$p\_f^\backslash mu\; =\; \backslash left\; (\; E\_e\; ,\; \backslash vec\; p\_e\; \backslash right\; )$

Per la conservazione dei quadri-impulsi e per l'invarianza delle loro norme si ottiene

m_e²c⁴ - p_γc² = E_e² - p_γ²c² da cui m_e²c⁴ = E_e²

ovvero l'energia totale dell'elettrone è rimasta invariata: come dire che il fotone è scomparso e l'elettrone non ne ha risentito.

Bibliografia

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• Albert Einstein, Emissione e trasformazione della luce, da un punto di vista euristico, tratto da Teoria dei quanti di Luce, Edizioni Newton Compton
• Paul A.Tipler, Invito alla fisica, Edizioni Zanichelli

Meccanica quantistica

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