Dinamica

La dinamica è il ramo della meccanica classica (Newtoniana) che si occupa dello studio del moto dei corpi e delle sue cause. Lo studio completo della meccanica classica comprende anche la statica e la cinematica.

Secondo l'intuizione fondamentale di Galileo e Newton, le forze non sono la causa del moto, ma producono una variazione dello stato di moto. Questa intuizione equivale ad affermare la relatività del movimento; un osservatore può determinare il suo stato di quiete o di moto solo relativamente ad altri corpi (o altri osservatori). Per questo è possibile parlare delle cause che variano il moto, ma non delle cause del moto.

Lo studio della dinamica si conduce innanzitutto riferendosi ad un'entità astratta, dotata di massa ma con dimensioni trascurabili: il punto materiale. Tutte le leggi riferite al punto materiale possono essere poi estese ai corpi reali (dotati di massa e di dimensioni finite) interpretati come sistemi di punti materiali; se le distanze tra questi punti non variano nel tempo, si studia la dinamica dei corpi rigidi; in caso contrario si studia la dinamica dei corpi deformabili.

Osservatori inerziali

Nel costruire una qualsiasi teoria è indispensabile determinare le condizioni sotto le quali due osservatori vedono i fenomeni evolversi nel medesimo modo, e quindi possono descriverli con le medesime leggi; che sono dette trasformazioni di Galileo.

Fino a che i due sono in moto relativo rettilineo uniforme, possono tradurre i dati di posizione e di velocità osservati dall’uno nei corrispondenti dati misurati dall’altro, a patto che possano effettuare le determinazioni contemporaneamente.

Questi osservatori privilegiati si dicono osservatori galileiani, o osservatori inerziali e il sistema di riferimento in cui vengono inseriti è un sistema di riferimento inerziale.

Assiomi o leggi della dinamica secondo Newton

Le basi concettuali della dinamica vengono poste per la prima volta in maniera sintetica e completa da Isaac Newton nel 1687 con la pubblicazione della sua opera fondamentale, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, anche se Newton l’aveva recepito da studente nel saggio “Delle riflessioni” del gennaio 1665, manoscritto sul suo Waste Book. Nella prima parte di quest' opera, dopo aver definito i concetti fondamentali di massa (fisica), quantità di moto, e forza, Newton introduce i tre assiomi o leggi del moto, che riportiamo qui di seguito.

Legge I-Legge di inerzia di Galilei Ciascun corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, salvo che sia costretto a mutare quello stato da forze impresse
I proiettili perseverano nei propri moti salvo che siano rallentati dalla resistenza dell’aria e sono spinti verso il basso dalla forza di gravità. Un cerchio non cessa di ruotare, salvo che venga rallentato dalla resistenza dell’aria. I corpi più grandi dei pianeti e delle comete conservano più a lungo i propri moti sia progressivi che circolari effettuati in spazi meno resistenti.

Questa legge è nota anche con il nome di principio di inerzia. Formulazioni parziali di questo principio sono dovute a Galileo Galilei nel Discorso sui massimi sistemi (1632) e a Cartesio.

Oggi il principio viene così formulato: Se un corpo è soggetto ad un sistema di forza a risultante zero, allora rimane in quiete o in moto rettilineo uniforme. Tale corpo si dirà in equilibrio.

In pratica:

\Sigma f = 0 \Rightarrow \vec {a}=0

Gli esempi portati da Newton a proposito del cerchio in rotazione e del moto dei pianeti sono in realtà esempi di conservazione del momento angolare e rappresentano un'estensione del principio di inerzia. È strettamente correlato con il principio di relatività: un corpo sul quale non agisce nessuna forza e fermo rispetto a un osservatore, è visto in moto rettilineo uniforme da un altro osservatore in moto rettilineo uniforme rispetto al primo. E questo vale per tutti gli osservatori in moto rettilineo uniforme.

La prima legge non è valida in tutti i sistemi di riferimento, ma solo per un sistema di riferimento inerziale. Proprio per questo motivo tale legge serve ad individuare i sistemi inerziali.

Legge II-Legge di Newton

Il cambiamento di moto è proporzionale alla forza risultante motrice impressa, ed avviene lungo la linea retta secondo la quale la forza è stata impressa.

''Posto che una qualche forza generi un movimento qualsiasi, una forza doppia ne produrrà uno doppio, e una tripla uno triplo, sia che sia impressa istantaneamente (impulso), sia gradatamente ed in tempi successivi.

E questo moto (poiché è sempre determinato lungo lo stesso piano della forza generatrice) se è concorde e se il corpo era già mosso, viene aggiunto al moto di quello; sottratto se contrario, oppure aggiunto solo obliquamente se obliquo, e si compone con esso secondo la determinazione di entrambi.''

La forma più generale di questo principio è oggi definito come variazione della quantità di moto. Il riferimento alla retta di azione della forza è un riconoscere in modo implicito il carattere vettoriale sia della forza che della quantità di moto.
Utilizzando una terminologia moderna, espressa già da Eulero, possiamo definire questa legge come: L'accelerazione di un corpo è proporzionale alla forza risultante esercitata sul corpo e usando una simbologia moderna, questa legge può essere espressa dall'equazione:

\Delta\mathbf p =\mathbf F_m \Delta t

essendo p = m v la quantità di moto di un corpo di massa m che si muove con velocità v rispetto all'osservatore e Δ p la sua variazione, mentre F_m è la forza media che agisce nell' intervallo di tempo Δ t. Se si vuole esprimere questa legge utilizzando la forza istantanea al tempo t, occorre fare tendere a zero l'intervallo di tempo $\Delta t$ , per cui la forza risulta la derivata della quantità di moto rispetto al tempo:

\mathbf F(t)= \frac {d \mathbf p(t)}{d t}

L’introduzione del concetto di massa è la chiave di svolta del secondo principio e c'è chi vuole vedere in esso una definizione di questo concetto. Qui la massa (fisica) risulta essere una costante di proporzionalità tra la forza risultante esercitata sul corpo e l’accelerazione che ne consegue. In questo senso la massa (fisica) è una proprietà intrinseca del corpo e dà una misura dell'inerzia del corpo, cioé la tendenza di un corpo ad opporsi ad una qualunque variazione della velocità, motivo per cui viene chiamata massa inerziale.

Da un confronto tra la prima e la seconda legge si sarebbe indotti a considerare la prima legge niente più che un caso particolare della seconda poiché se Σf=0, allora a=0. Tuttavia ci siamo serviti della prima legge per definire il sistema di riferimento inerziale.

Legge III Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria.

Se qualcuno spinge una pietra col dito, anche il suo dito viene spinto dalla pietra. Se un cavallo tira una pietra legata ad una fune, anche il cavallo è tirato ugualmente verso la pietra: infatti la fune distesa tra le due parti, per lo stesso tentativo di allentarsi, spingerà il cavallo verso la pietra e la pietra verso il cavallo; e di tanto impedirà l’avanzare dell’uno di quanto promuoverà l’avanzare dell’altro.

''Se un qualche corpo, urtando in un altro corpo, in qualche modo avrà mutato con la sua forza il moto dell’altro, a sua volta, a causa della forza contraria, subirà un medesimo mutamento del proprio moto in senso opposto. …

A queste azioni corrispondono uguali mutamenti, non di velocità, ma di moto. I mutamenti delle velocità, infatti, effettuati allo stesso modo in direzioni contrarie, in quanto i moti sono modificati in uguale misura, sono inversamente proporzionali ai corpi.

Questa legge è anche nota con il nome di principio di azione e reazione. Essa riconosce in primo luogo il fatto che le forze nascono sempre dall' interazione tra due corpi.
Se su un sistema formato da due corpi non agiscono forze esterne, risulta

\frac {d \mathbf p(t)}{d t}=0

ovvero la quantità di moto del sistema rimane costante (legge di conservazione della quantità di moto). Ne segue che la variazione della quantità di moto del corpo 1 Δp₁ deve equilibrare quella del corpo 2, Δp₂, ovvero Δp₁ = - Δp₂. Poiché inoltre p = m v, se le masse dei corpi rimangono costanti , risulta m₁ Δv₁=m₂ Δv₂, ovvero le variazioni di velocità (in modulo) sono inversamente proporzionali alle masse dei corpi.
Dividendo entrambi i membri di questa equazione per il tempo

\Delta t

in cui avviene l'interazione tra i due corpi, abbiamo, sempre per la legge II,

\mathbf F_{12} = -  \mathbf F_{21}

dove F₁₂ è la forza esercitata dal corpo 2 sul corpo 1 e F₂₁ è la forza esercitata dal corpo 1 sul corpo 2.

Espressione matematica dei principi della dinamica

Dinamica del punto materiale

Un corpo può essere considerato con un buona approssimazione un punto materiale quando le sue dimensioni sono trascurabili rispetto alle dimensioni della sua traiettoria. I tre principi della dinamica possono essere sintetizzati nell' equazione del moto

\mathbf F(t) = \frac {\operatorname d \mathbf p(t)}{\operatorname d t}

per cui la forza istantanea rappresenta la derivata della quantità di moto rispetto al tempo, cioè la velocità con cui la quantità di moto varia nel tempo. Nel caso in cui la massa del corpo rimanga costante durante il moto, poiche p = m v, tale equazione può essere scritta nella forma

\vec F = \frac {d\vec p} {dt} = \frac {d\left (m \cdot \vec v \right)} {dt} = m \cdot \frac {d\vec v} {dt} = m \cdot \vec a

essendo a(t) l'accelerazione istantanea del corpo.
Quest'ultima equazione è forse la forma più diffusa e più nota dei principi della dinamica: ricordiamo ancora che essa è valida solo nel caso di un corpo di massa costante (non è quindi valida per descrivere il moto di un aereo o di un razzo).

Se sul corpo non agiscono forze, oppure se tutte le forze che agiscono sul corpo hanno risultante nulla, allora anche l'accelerazione è nulla ( a = 0), ovvero la velocità rimane costante nel tempo ( v = v_o (costante): il corpo quindi mantiene invariato il suo stato
- di quiete (se v_o =0)
- di moto rettilineo uniforme (se v_o ≠ 0)
Il principio di inerzia costituisce quindi un caso particolare della seconda legge della dinamica.
Se sul corpo agisce una forza costante nel tempo, allora anche l' accelerazione è costante e il corpo si muove di moto uniformemente accelerato.
Se la forza è una funzione nota del tempo t, della posizione x oppure della velocità v , allora l'equazione del moto rappresenta un' equazione differenziale, la cui soluzione rappresenta la traiettoria del punto materiale in funzione del tempo, x= x(t). Ad esempio, nel caso di una forza elastica che segue la legge di Hooke (consideriamo il caso unidimensionale) ${F} = {k} \cdot {x}$ ,la soluzione dell'equazione di moto è un'oscillazione periodica di periodo $T = \frac {2\pi} \omega = 2 \pi \sqrt \frac m k$ , detta oscillazione armonica, oppure moto armonico.

Dinamica dei sistemi di punti materiali

Dinamica di un corpo rigido attorno ad un asse fisso

Nel caso di un corpo rigido di massa m, vincolato ad un particolare asse di rotazione (che identifichiamo con l'asse z), l'equazione del moto assume la forma

M_z (t)= \frac {\operatorname d L_z(t)}{\operatorname d t}

essendo M_z il momento della forza rispetto all'asse z e L_z il momento angolare (o momento della quantità di moto) rispetto all'asse z. Poiché il momento angolare può essere espresso in funzione del momento di inerzia del corpo

{L_z} (t)= {I_z} \cdot {\omega} (t)

essendo ω(t) la velocità angolare istantanea di rotazione attorno all'asse z, se il momento di inerzia non cambia durante il moto (poiché non varia la massa o la distribuzione della massa intorno all'asse di rotazione), l'equazione di moto può essere scritta nella forma

M_z = I_z \frac {\operatorname d \omega(t)}{\operatorname d t}=I_z \alpha(t)

essendo α l' accelerazione angolare.

Dinamica e leggi di conservazione

La dinamica può essere formulata in modo complementare rispetto all'equazione del moto attraverso le leggi di conservazione:

la legge di conservazione della quantità di moto;
la legge di conservazione del momento della quantità di moto
il teorema dell'energia cinetica;
la legge di conservazione dell'energia (valida per le forze conservative).