Curva di Koch

__NOTOC__ La Curva di Koch è una delle prime curve frattali di cui se ne conosca una descrizione. È apparsa in un documento del 1904 intitolato "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire" del matematico svedese Helge von Koch.

Curva_koch.png dopo 5 iterazioni]]

Generazione della curva

La generazione della curva di Koch avviene grazie all'esecuzione ripetuta di un programma di istruzioni o procedura ricorsiva: è una procedura perché precisamente definita da un numero finito di passi, è ricorsiva perché viene ripetuta meccanicamente. L'algoritmo della curva di Koch è molto semplice, consiste in un ripetizione del ciclo seguente. Partendo da un segmento di determinata lunghezza:

dividere il segmento in tre segmenti uguali;
cancellare il segmento centrale, sostituendo con due segmenti identici che costituiscono i due lati di un triangolo equilatero;
tornare al punto 1 per ognuno degli attuali segmenti.

Koch_costruzione.png: prima iterazione]]

Partendo da un segmento, se ne ottengono quindi quattro (costituenti una linea spezzata) nel primo ciclo, 4x4=16 nel secondo ciclo e così via, generando al limite un elegantissimo frattale. Ingrandendo un qualunque dettaglio del frattale si ottiene si ottiene ancora lo stesso frattale: in questo consiste l'autosomiglianza dei frattali a qualunque livello di scala.

Definizione matematica

In ogni passo della generazione della curva che abbiamo descritto otteniamo una curva continua che possiamo pensare parametrizzata da una funzione continua sull'intervallo $Se si definiscono le parametrizzazioni in modo "ragionevole" si ha che la curva corrispondente ad ogni passo differisce dalla curva del passo precedente di quantità via via sempre più piccole. Si può dimostrare che questa successione di curve è una successione di Cauchy nello spazio di Banach delle curve continue su [0,1$ e quindi deve convergere ad un punto limite nello spazio delle curve continue, questo limite è la Curva di Koch.

La curva di Koch così definita gode delle seguenti proprietà:

è continua in quanto limite uniforme di funzioni continue, cioè è una curva nel senso matematico del termine;

ha lunghezza infinita: infatti ogni tappa della sua costruzione aumenta la lunghezza totale nel rapporto di 4/3 e la lunghezza della curva limite è evidentemente superiore a tutte le lunghezze delle curve costruite ad ogni passo;

non è derivabile in nessun punto, infatti una curva derivabile in un punto $x_0$ vista su scale sempre più piccole intorno a $x_0$ tende ad essere vicina ad una retta passante per quel punto, la curva di Koch invece vista su qualsiasi scala è identica a sè stessa.

La curva di Koch e i matematici

Nel suo libro "Les objets fractals" Benoit Mandelbrot propone la curva di Koch come un modello sommario della costa di un isola. Essa è una celebre figura che Cesàro descrive nel seguente modo: "È questa similitudine tra il tutto e le sue parti, perfino quelle infinitesimali, che ci porta a considerare la curva di Koch alla stregua di una linea veramente meravigliosa tra tutte. Se fosse dotata di vita, non sarebbe possibile annientarla senza sopprimerla al primo colpo, poiché in caso contrario rinascerebbe incessantemente dalle profondità dei suoi triangoli, come la vita nell'universo".

Ogni trattato di matematica che ne parli sottolinea subito che si tratta necessariamente di un mostro privo d'interesse concreto. Ma Mandelbrot l'ha introdotta appositamente nel suo libro come modello semplificato di una costa. Anche se questo modello risulta inaccettabile, ciò non accade perché esso sia troppo irregolare, ma perché la sua irregolarità è troppo sistematica. Il suo disordine non è eccessivo, bensì insufficiente!

Bisogna citare a questo riguardo due grandi matematici che, pur non avendo contribuito allo studio di questa figura, avevano un senso sviluppato del concreto. Lévy scriveva: "Senza dubbio la nostra intuizione prevedeva che l'assenza di tangente e la lunghezza infinita della curva fossero legate a dei tornanti infinitamente piccoli che non si può pensare di disegnare. Ma si rimane confusi per il fatto che la nostra immaginazione non riesce nemmeno a spingersi oltre i primi passi nella costruzione di questi tornanti infinitamente piccoli". Nello stesso spirito, riassumendo uno studio appassionante, Stainhaus scriveva: "Ci avviciniamo alla realtà, considerando che la maggior parte degli archi che s'incontrano nella natura sono non rettificabili. Questa affermazione contrasta con la credenza che gli archi non rettificabili siano un'invenzione dei matematici, e che gli archi naturali siano rettificabili: si verifica invece il contrario".

Che contrasta con quanto detto è la celebre invettiva di Charles Hermite, il quale non si curava altro che del rigore e di una certa idea di purezza che si era inventato, e dichiarava di "ritrarsi con spavento e orrore da questa piaga lamentevole delle funzioni che non hanno derivata".

Fiocco di neve di Koch

È conosciuta anche col nome fiocco di neve di Koch (o stella di Koch), anche se, in questo caso, oltre la curva si considera anche la superficie che essa racchiude.

La costruzione parte da un'isola a forma di triangolo equilatero. Quindi, sul terzo centrale di ciascuno dei tre lati di lunghezza unitaria, si colloca un promontorio a forma di triangolo equilatero, dai lati uguali a 1/3. Si ottiene così un esagono regolare stellato, o stella di David, il cui perimetro ha lunghezza uguale a 4. Allo stesso modo si procede per ciascuno dei suoi dodici lati, e così di seguito.

Particolarità di questa figura è che, pur avendo perimetro infinito, ha superficie finita. Il perimetro infatti è dato dal limite della successione $S_n\!$ :

\begin{cases} S_0 = 1 \\ S_{n+1} = (1 + \frac{1}{3}) \cdot S_n = \frac{4}{3} S_n \end{cases}

\lim_{n \to +\infty} S_n = +\infty

Mentre invece l'area è pari al limite della successione $A_n\!$ :

\begin{cases} A_0 = 1 \\ A_{n+1} = A_n + 3^{1-2n} 2^{2n-1} \end{cases}

\lim_{n \to +\infty} A_n = \frac{11}{5}

Metodo generalizzato

Un caso particolare di curva di Koch è la curva di Peano, la quale, per la presenza di punti doppi, degenera in una curva molto particolare. Le curve di Peano hanno avuto un ruolo fondamentale per lo studio del rapporto tra dimensione topologica e frattale.

Koch_gen_1.png Koch_gen_2.png

Bibliografia

Koch, H. von "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire" Archiv för Matemat., Astron. och Fys. 1, 681-702, 1904

Collegamenti esterni

Questi sono esempi di celebri costruzioni utilizzando il metodo Koch generalizzato:

frattali