A vektortér, másnéven lineáris tér a lineáris algebra alapvető fogalma. A vektortér eleme a szokásos geometriai vektorfogalom általánosított formája, a vektorokkal végezhető műveletek legelemibb tulajdonságait axiomatikusan definiálja. A lineáris tér a mi szokásos síkunk és terünk általánosítása, több dimenziós terekre. A továbbiakban majd megjelenik itt a definíció is, az angol cikk mintájára.

Definíció

---

A (V,T,+,·) algebrai struktúra vektortér, vagy lineáris tér, akkor ha a T egy test, és értelmezve van V elemeire a testbeli számokkal való szorzás, úgy hogy V az összeadásra kommutatív csoport és disztributív az T elemeivel való szorzásra nézve. A vektortér elemeit általában félkövér betűkkel (például: $\backslash mathbf\{v,u,w\}$) jelöljük, kézírásban pedig alulvonással.

Példák

---

A lineáris tér egy nagyon általános fogalom, rengeteg példa van rá a matematikában. Nagyon sok olyan matematikai fejezetben is megjelenik, amit szerteágazóan alkalmaznak a fizika számos területén, például funkcionálanalízis vagy éppen a differenciálgeometria, hogy csak néhányat említsek.

• a geometriából ismert szokásos vektorok halmaza a vektorok összeadására és a valós skalárral való szorzásra.
• a valós számokból álló m × n-es mátrixok az valós számokkal való szorzásra. (Általánosabban egy T test elemeiből álló m × n-es mátrixok az T-el való szorzásra.)
• a valós (komplex) szám-n-esek ($\backslash mathbb\{R\}^n$ ill. $\backslash mathbb\{C\}^n$) a valós (komplex) számokkal való szorzásra.
• a valós számok teste ($\backslash mathbb\{R\}$) a valós számokkal való szorzással (triviális vektortér)
• a komplex számok teste ($\backslash mathbb\{C\}$) a valós számokkal való szorzással
• a komplex számok teste a komplex számokkal való szorzással
• az $\backslash left*$ intervallumon folytonos $\backslash mathbb\{R\}$-be képező függvények a valós számokkal és a szokásos pontonkénti összeadással.
• az $\backslash left*$ intervallumon integrálható $\backslash mathbb\{R\}$-be képező függvények a valós számokkal és a szokásos pontonkénti összeadással.
• a legfeljebb $n$-edfokú polinomok a szokásos összeadással és skalárral való szorzással.
• a valószínűségi változók a szokásos összeadással és skalárral való szorzással

Tulajdonságok, műveletek

---

A lineáris tereken végzett egyik legalapvetőbb művelet a lineáris kombináció, amely több vektor skalárral szorzott többszörösének összeadásást jelenti. Vektorok egy halmaza lineárisan független, ha egyik eleme sem fejezhető ki a többi elem lineáris kombinációjaként. Ha vektorok egy halmazának lineáris kombinációjaként egy lineáris tér minden eleme előállítható, akkor generátorrendszernek nevezzük. Ha egy generátorrendszer lineárisan független, akkor az a lineáris tér egyik bázisát adja. Egy lineáris tér bázisának elemeinek száma egyértelmű, és a tér dimenzióját adja meg, amely lehet véges, vagy végtelen. Egy lineáris tér részhalmaza altér, ha maga is lineris teret alkot(azaz zárt a két műveletre nézve).

Lásd még

---

duális tér

Algebra

Vector space Espai vectorial Vektorový prostor Gofod fectoraidd Vektorrum Vektorraum Vektora spaco Espacio vectorial Lineaariavaruus Espace vectoriel Espazo vectorial מרחב וקטורי Spazio vettoriale ベクトル空間 벡터 공간 Vectorruimte Vektorrom Przestrzeń liniowa Espaço vetorial Spaţiu vectorial Линейное пространство Lineárny priestor Vektorski prostor Векторски простор Linjärt rum Лінійний простір Spazsio vetoriàl 向量空间 Hiòng-liōng khong-kan