A mozgási energia (kinetikus energia) a mozgásban levő testek energiája. Egy test mozgási energiája egyenlő azzal a munkával, amit nyugalmi állapotból kell kifejtsen hogy elérje a kívánt sebességet és forgást.

Képletek

---

Definíció

$E\_k\; =\; \backslash int\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{p\}$

Szavakban a fenti képlet kijelenti, hogy a mozgási energia (E_k) egyenlő a sebesség (v) és az impulzus (p) skaláris szorzatának az integráljával.

Newtoni (klasszikus) mechanika

A klasszikus mechanikában egy test teljes kinetikus energia egyenlő a test haladási kinetikus energiájának és forgási energiájának összegével:

$E\_k\; =\; E\_t\; +\; E\_r\; \backslash ,\backslash !$

ahol:

• E_k a teljes kinetikus energia
• E_t a haladási kinetikus energia
• E_r a forgási kinetikus energia

Egy m tömeggel rendelkező, egyenes vonalban, egyenletes sebességgel mozgó testnek a haladási kinetikus energiáját a következőképpen számíthatjuk ki:

$E\_t\; =\; \backslash begin\{matrix\}\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash end\{matrix\}\; mv^2$

ahol:

• E_translation a haladási kinetikus energia
• m a test tömege
• v az egyenletes sebesség

Tehát 10 m/s sebességgel mozgó test mozgási (kinetikus) energiája 50 J/kg, 100 m/s-nál 5 kJ/kg, stb.

Ha a test forog, a forgási kinetikus energiája a következő képlettel számítható ki:

$E\_r\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash Theta\; \backslash omega^2$,

ahol:

• E_r a forgási kinetikus energia
• Θ a test tehetetlenségi nyomatéka
• ω a test szögsebessége

Relativisztikus mechanika

Einstein relativitáselméletében (főleg a fénysebességhez közeli esetekben jelent nagy eltérést a Newtonitól) a test mozgási energiája:

$E\_k\; =\; m\; c^2\; (\backslash gamma\; -\; 1)\; =\; \backslash gamma\; m\; c^2\; -\; m\; c^2$

= \left( \frac{1}{\sqrt{1- v^2/c^2 }} - 1 \right) m c^2

ahol:

• E_k a test kinetikus energiája
• v a test sebessége
• m a test nyugalmi tömege
• c a fény sebessége vákuumban
• γmc² a test teljes energiája $\backslash left(\backslash gamma\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; (v/c)^2\}\}\; \backslash right)$
• mc² a nyugalmi tömeg energiája (90 petaJoule/kg)

Érdekes megfigyelni azt, hogy ha v közelít a nullához, a fenti képlet és a klasszikus mechanikai képlet hányadosa tart az 1-hez:

$\backslash lim\_\{v\backslash to\; 0\}\{\backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1-\; v^2/c^2\backslash \; \}\}\; -\; 1\; \backslash right)\; m\; c^2\; \backslash over\; \backslash begin\{matrix\}\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash end\{matrix\}\; mv^2\; \}=1.$

A relativitáselmélet szerint egy test mozgási energiája tart a végtelenhez, ahogy a sebessége a fénysebesség fele közeledik és emiatt lehetetlen véges energiával fénysebességnél nagyobb sebességre gyorsítani egy testet.

Ahol a gravitáció gyenge és a testek a fénysebesség töredékével mozognak (pl. a Földön mozgó testek), Newton képlete tökéletes megközelítése a relativisztikus mozgási energiának.

A relativitáselméletben a kinetikus energia már nem skalár, hanem a Minkowski-tér egy elemének (egy négyesvektornak) egy komponense, ezért például Lorentz-transzformáció alkalmazása esetén megváltozhat az értéke.

$p^\backslash alpha=\{\backslash frac\{E\}\{c\}\; \backslash choose\; \backslash mathbf\{p\}\}$ $p^\backslash alpha\; =\; mu^\backslash alpha\backslash ,$

A hőmérséklet és a mozgási energia

---

A hőmérséklet az energia rendezetlen mozgásként tárolt formája. A hőmérséklet és az atomok, molekulák mozgása közti összefüggés a statisztikus mechanika tárgya. A hőátadás belső energia átadását jelenti. A hő és mechanikai munka kapcsolatát az energiamegmaradással a termodinamika első törvénye tartalmazza.

Történeti adalékok és magyarázatok

---

A mozgási energiát először Leibniz vezette be 1686-ban, akkor még az mv² szorzatot jelentette, csak később értették ez alatt az ½mv² kifejezést. Eredetileg, régies magyar fordításban "eleven erőnek" nevezték el, mely meglehetősen félrevezető, hiszen itt nem erő jellegű mennyiségről van szó. Amellett, hogy "az a munka, melyet a testen kell végezni, hogy álló helyzetből v sebességre tegyen szert" a mozgási energia jelentését a test mozgásegyenletének, mint differenciálegyenletnek megoldásában kereshetjük. A mechanika hőskorában, a XVII.-XVIII. században minden fizikai törvényt megmaradási- és minimumelvekben próbálták kifejezni. Tekintve, hogy a differenciálegyenletek első integráljai olyan egyenletek, melyek bizonyos függvények konstans voltát állítják, kiválóan alkalmasak megmaradási elvek megfogalmazására. A dinamika alapegyenlete (azaz a mozgásegyenlet) egy másodrendű differenciálegyenlet, mely a test helyzetére, sebességére és gyorsulására felírt egyenlet:

$m\backslash ddot\{\backslash mathbf\{r\}\}(t)=\backslash mathbf\{F\}(t,\backslash dot\{\backslash mathbf\{r\}\},\backslash ddot\{\backslash mathbf\{r\}\})$

itt F az erő,

m a tömeg,

t az idő,

$\backslash dot\{\backslash mathbf\{r\}\}$ a sebesség,

$\backslash ddot\{\backslash mathbf\{r\}\}$ a gyorsulás.

Amennyiben a ható erő csak a test helyzetétől függ (így tehát az erőtér konzervatív), akkor a fenti differenciálegyenlet első integrálja egy olyan egyenlet, amiben már második derivált (gyorsulás) nem szerepel, azaz alkalmas f függvénnyel fennáll:

$f(t,\backslash mathbf\{r\},\backslash dot\{\backslash mathbf\{r\}\})=konst.$

A dinamika alapegyenletének mindkét oldalát skalárisan r-rel megszorozva a következő - megmaradási törvényt kifejező - egyenletet kapjuk, mely a mozgásegyenlet egyik első integrálja:

$\backslash frac\{1\}\{2\}mv^2(t)-\backslash int\backslash limits\_\{t\_0\}^t\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{r\}(t\text{'}))d\backslash mathbf\{r\}(t\text{'})=konst.$

A baloldali megmaradó mennyiséget nevezték mechanikai energiának, amelynek első tagja nyilvánvalóan a mozgási energia (mert csak a test sebességétől függ), második a helyzeti energia (mert lévén az erő konzervatív, így munkája csak a helytől függ). Az előbbi egyenlet tehát a mechanikai energia megmaradását fejezi ki.

Fizikai mennyiségek

Kinetic energy Kinetička energija Energia cinètica Kinetická energie Kinetisk energi Kinetische Energie Kineta energio Energía cinética Liike-energia Énergie cinétique Enerxía cinética אנרגיה קינטית Kinetička energija Energi kinetis Energia cinetica 運動エネルギー 운동 에너지 Tenaga kinetik Kinetische energie Kinetisk energi Energia kinetyczna Energia cinética Energie cinetică Кинетическая энергия Kinetic energy Kinetická energia Kinetična energija Kinetisk energi Kinetik enerji 动能