A halmaz a matematika egyik legalapvetőbb fogalma, melyet leginkább az „összesség”, „sokaság” szavakkal tudunk körülírni (egy Georg Cantor által adott körülírását ld. lentebb); de mivel igazából alapfogalom; így nem tartjuk definiálandónak. A halmazok általános tulajdonságaival a matematika egyik ága, a halmazelmélet foglalkozik. Annak ellenére, hogy ez a tudományág csak a 19. században fejlődött ki, mára a modern matematika minden ágának ez a tudományág (a matematikai logika mellett) az alapja, mivel minden, a matematika által vizsgált objektum végső soron halmaz. A matematikának ez a jelenleg is uralkodó „halmazelméleti” paradigmája elsősorban a huszadik században működő matematikustársaság, a Bourbaki-csoport munkásságának köszönhető. A halmazelméleti ismeretek az elemi iskolai matematika részét is képezik.

A halmazelmélet eredeti és korai formája, a naiv halmazelmélet, ellentmondásosnak bizonyult. Ezért a matematikusok létrehoztak más, különféle axiómaómarendszerekre épülő, ún. axiomatikus halmazelméleteket is.

Történet és áttekintés

Fő szócikk: A halmazelmélet története.

A halmazelmélet kialakulása a 19. század végére tehető, elsődleges okának ma a valós függvényanalízis bizonyos ellentmondásainak felfedezését tartjuk; melyek felvetették a valós számok elméletének szigorúbb megalapozásának igényét.

A halmazelmélet úttörői és első képviselői, az úgynevezett naiv halmazelmélet kidolgozói Georg Cantor és Richard Dedekind voltak. A halmazelmélet e paradigmája szerint a halmaz fogalma nincs matematikai precizitással meghatározva, hanem az ösztönös szemléletre támaszkodik. A naiv halmazelmélet ellentmondásokhoz, úgynevezett antinómiákhoz vezet. Ilyen például az a feltételezés, hogy létezik az összes halmazok halmaza. Mivel közben az is kiderült, hogy a matematika teljességgel visszavezethető a halmazelméletre, ezért ezek az ellentmondások az egész matematika számára is problémát jelentettek.

Megoldásképp létrejött az a paradigma, amit axiomatikus halmazelméletnek nevezünk. Erre alapozva több „rivális” halmazelmélet is keletkezett, mindegyik alapfogalmak, axiómák és logikai törvények rendszerére alapozva alkotja meg elméletét; de egymástól eltérően. A fontosabb axiómarendszerek a Zermelo-Fraenkel és a Neumann-Bernays-Gödel axiómarendszer. Eddig ezekben a rendszerekben nem találtak ellentmondásokat

Naiv halmazelmélet

Cantor definíciója

A matematikában egy halmaz az objektumok gyűjteménye. Két halmaz akkor és csakis akkor egyenlő, ha ugyanazon objektumokat tartalmazza. A véges halmaz véges számú objektumot tartalmaz; ennek alternatívája a végtelen halmaz. A halmazok készítésével kapcsolatos jellemzőket és axiómákat a naiv halmazelmélet és axiomatikus halmazelmélet szócikkek tárgyalják.

Halmazműveletek

• Unió $\backslash cup$
• Metszet $\backslash cap$
• Különbség $\backslash setminus$
• Szimmetrikus különbség
• Komplementer
• Decartes-szorzat
• Decartes-hatvány
• Hatványhalmaz képzés

Ez a cikk röviden ismerteti a lényeget.

(folytatandó, lásd set...)

Halmazelmélet | Matematika

set | مجموعة | Множество | Množina | Menge (Mathematik) | Conjunto | Aro | مجموعه | Ensemble | 집합 | Ensemblo | Insieme (insiemistica) | קבוצה (מתמטיקה) | Aibė | Verzameling | 集合 | Mengde | Zbiór | Conjunto | Mulţime | Множество | Bashkësitë | Množina | Množica | Joukko | Mängd | Множина | 集合