שוֹנוּת היא מדד לפיזור הסטטיסטי של משתנה מקרי. הפיזור נמדד סביב התוחלת של המשתנה המקרי הנדון. לשורש השונות קוראים "סטיית התקן" של המשתנה.

מושג זה הוצג לראשונה על ידי רונלד פישר בשנת 1918.

הגדרה פורמלית

נסמן ב- $\backslash mu\; =\; \backslash operatorname\{E\}(X)$ את התוחלת של המשתנה המקרי $\backslash \; X$, השונות $\backslash \; \backslash sigma^2$ (או גם: $\backslash operatorname\{var\}(X)$) תוגדר כ- $\backslash \; \backslash operatorname\{var\}(X)\; =\; \backslash operatorname\{E\}(\; (\; X\; -\; \backslash mu\; )\; ^\; 2\; )$. השונות שווה גם ל- $\backslash \; \backslash operatorname\{E\}(X^2)\; -\; \backslash mu^2$.

מבחינה אינטואיטיבית, השונות היא הממוצע של ריבוע המרחק של כל ערך מהממוצע.

ההגדרה לעיל מתאימה גם עבור משתנה מקרי בדיד וגם עבור משתנה מקרי רציף.

לא לכל התפלגות קיימת שונות. לדוגמה, השונות איננה קיימת עבור התפלגות קושי.

תכונות השונות

• השונות תמיד אי שלילית $\backslash operatorname\{var\}(X)\; \backslash ge\; 0$
• השונות של קבוע היא 0.   $\backslash \; c\backslash quad\; \backslash operatorname\{var\}(c)\; =\; 0$ - קבוע ממשי.
• השונות של טרנספורמציה לינארית על המשתנה המקרי $\backslash \; X$ מחושבת באופן הבא:

$\backslash operatorname\{var\}(aX+b)=a^2\backslash operatorname\{var\}(X)$

שונות האוכלוסייה ושונות המדגם

עבור אוכלוסייה סופית (שהתפלגותה אינה ידועה) ניתן לחשב את השונות בעזרת הנוסחה:

$\backslash sigma^2\; =\; \backslash frac\; \{\backslash sum\_\{i=1\}^N\; \backslash left(x\_i\; -\; \backslash overline\{x\}\; \backslash right)^2\}\; \{N\}$

$\backslash overline\{x\}$ - ממוצע האוכלוסייה.
$\backslash \; N$ - מספר האיברים באוכלוסייה.

נוסחה שימושית לחישוב שונות האוכלוסייה:

$\backslash sigma^2\; =\; \backslash frac\; \{\backslash sum\_\{i=1\}^\{N\}\; x\_i^2\; -\; (\backslash sum\_\{i=1\}^\{N\}\; x\_i)^2/N\}\{N\}\; \backslash !$

כאשר נתון מדגם מקרי $(y\_1,\backslash dots,y\_N)$ ניתן לאמוד את השונות על ידי הנוסחה $s^2\; =\; \backslash frac\{1\}\{N-1\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^N\; \backslash left(y\_i\; -\; \backslash overline\{y\}\; \backslash right)^\; 2$; בתנאים רגילים, זהו אומד בלתי מוטה. אם הנתונים מעוגלים בזמן המדידה, יש להפעיל את תיקון שפרד.

נוסחה שימושית אחרת לחישוב האומד לשונות: $s^2\; =\; \backslash frac\; \{\backslash sum\_\{i=1\}^\{N\}\; x\_i^2\; -\; (\backslash sum\_\{i=1\}^\{N\}\; x\_i)^2/N\}\{N-1\}\; \backslash !$.

ראו גם

• מדדי פיזור
• סטיית תקן
• משתנה מקרי
• תוחלת

סטטיסטיקה

Variance | Rozptyl (statistika) | Varianz | Varianza | Variance (statistiques) | Varianza | Varianza | 分散 | Variacija | Variantie | Varians | Wariancja | Variância | Дисперсия случайной величины | Varian | Varians | Varyans | 方差