קואורדינטות

קואורדינטות (בעברית: שיעורים) הן קבוצת מספרים המציינת את מיקומה של גוף במרחב כלשהו. מערכת הקואורדינטות שנקבעת כדי לתאר את המרחב היא שרירותית לחלוטין, אם כי בדרך כלל יש מספר מערכות קואורדינטות טבעיות שבהן נוח במיוחד לתאר מרחבים מסוימים.

קואורדינטות במתמטיקה

במתמטיקה, ובייחוד בגאומטריה יישומית, וכן בפיזיקה ובהנדסה, קואורדינטות או מערכת צירים היא מערכת בה לכל נקודה במרחב n-ממדי מותאמת קבוצה (סדורה) של מספרים (ברוב המקרים מדובר במספרים ממשיים, אך זה תלוי בהקשר). באופן פורמלי יותר, מערכת קואורדינטות על תחום X היא קבוצה (סדורה) של n פונקציות חלקות (כאשר n הוא ממד המרחב) מ-X אל הממשיים, כלומר:

\ \{ x^i : X \to \mathbb{R} | i=1,...,n \ ; \ x^i \ \mbox{ is smooth} \}

או מנקודת מבט של אנליזה וקטורית,

\ ( x^1 , \cdots , x^n ) : X \to \mathbb{R}^n

כך שהתאמה זו מהווה דיפאומורפיזם בין U לתת-תחום ב-

\mathbb{R}^n

אם המרחב הוא יריעה (Manifold), ובפרט יריעה עקומה, לא תמיד ניתן למצוא מערכת קואורדינטות שתכסה באופן חלק את כל המרחב (אולם ניתן למצוא קבוצת מערכות קואורדינטות המכסות חלקים מהיריעה, שאפשר להדביק אותן באופן חלק באזורי החפיפה ביניהם). חבורות לי עוסקות, בין השאר, בקשר שבין מערכות הקואורדינטות בנקודות שונות של אותה יריעה.

במרחב אוקלידי, מערכת הקואורדינטות הבסיסית והטבעית ביותר היא קואורדינטות קרטזיות שמהווה גם בסיס לינארי אורתונורמלי. זוהי מערכת הצירים הפשוטה והשימושית ביותר. במרחב אוקלידי מממד n, כל נקודה מתוארת באמצעות וקטור בעל n-רכיבים (במונחי תורת הקבוצות מדובר ב n-יה סדורה של n מספרים ממשיים), כאשר החיבור והכפל בסקלר מתבצעים רכיב-רכיב,

\ \mu \left( a_1 , \cdots , a_n \right) + \lambda \left( b_1 , \cdots , b_n \right) = \left( \mu a_1 + \lambda b_1 , \cdots , \mu a_n + \lambda b_n \right)

והמכפלה הפנימית היא המכפלה הסקלרית הסטנדרטית:

\ \left( a_1 , \cdots , a_n \right) \cdot \left( b_1 , \cdots , b_n \right) = a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n = \sum_{i=1}^{n}{a_i b_i}

במערכת זו, וקטורי הבסיס הם מערכת אורתונורמלית קבועה שאיננה תלויה במיקום הנקודה במרחב. לכן אפשר להעתיק במערכת זו כל וקטור בצורה מקבילה לראשית. במרחבים כלליים יותר (ובפרט במרחבים עקומים) תכונה זו לא בהכרח נכונה.

התמרת קואורדינטות

למרות שכל מערכת קואורדינטות תקנית היא שימושית עבור חישובים נומריים במרחב נתון, המרחב עצמו קיים בנפרד מהקואורדינטות. למעשה, הקואורדינטות מהוות רק תיאור מסוים (ובמידה מסוימת, שרירותי) של המרחב, וישנן תכונות של המרחב שאינן תלויות במערכת הקואורדינטות שנבחרה לתאר אותו, תכונות אלה נקראות אינווריאנטים של המרחב והדרישה לשימורן במשוואות המערבות וקטורים וגדלים הקשורים למרחב מוליכה לעקרון הקו-ואריאנטיות ולפיתוחו של חשבון הטנזורים. בגישה המקובלת, מתייחסים להתמרת קואורדינטות כאל טרנספורמציה פסיבית. כלומר: איננו משנים את העצמים עצמם, אלא רק את הצורה (או הבסיס) שבה מתארים אותם.

יהי V מרחב וקטורי (אזי הוא בפרט תחום או יריעה) ונניח שבנינו מעליו 2 מערכות קואורדינטות שונות: $\ ( x^1 , \cdots , x^n ) \mbox{ and } ( y^1 , \cdots , y^n )$ . למעשה, לכל נקודה (או וקטור) במרחב יש לנו שתי הצגות שונות. כל הצגה תלויה בבחירת הבסיס. נניח שאנו רוצים לעבור מהצגה אחת לשניה. יהי v וקטור ב-V, אזי

\ \vec{v} = \sum_{i}{ x^i \hat{e}_{(i)} } = \sum_{j}{ y^j \hat{f}_{(j)} }

כאשר

\ \{ \hat{e}_{(i)} \}_{i=1}^{n}

\ \{ \hat{f}_{(j)} \}_{j=1}^{n}

הם שני בסיסים שונים למרחב הוקטורי. נרשום את מטריצת מעבר הבסיס ביניהם M באמצעות רכיביה:

\ \hat{e}_{(i)} = \sum_{j} { M^j_i \hat{f}_{(j)} }

נציב קשר זה בנוסחה הקודמת בה מתואר v על ידי הקואורדינטות המוגדרות לכל בסיס בהתאמה,

\vec{v} = \sum_{j}{ y^j \hat{f}_{(j)} } = \sum_{i}{ x^i \hat{e}_{(i)} } =  \sum_{i}{ x^i \sum_{j}  M^j_i \hat{f}_{(j)} } = \sum_{j}{ \left( \sum_{i}{ M^j_i x^i } \right) \hat{f}_{(j)} }

מאחר ש-f הוא בסיס נובע שבו יש ל-v הצגה יחידה ולכן נוכל להשוות את הסכומים איבר-איבר לפי מקדמים ולקבל ש

\ y^i = \sum_{i}{ M^j_i x^i }

וזהו כלל ההתמרה של קואורדינטות של וקטורים. וקטורים שמותמרים לפי כלל זה נקראים "וקטורים קונטרה-וריאנטים" מאחר והקואורדינטות מותמרות בצורה הפוכה לבסיס.

ראו גם