פתית השלג של קוך

פתית השלג של קוך הוא פרקטל שהציג המתמטיקאי השבדי הלגה פון קוך.

תאור

פתית השלג של קוך הידוע גם כעקומת קוך או האי של קוך הוא עקומה פרקטלית שהוצגה לראשונה על ידי המתמטיקאי השבדי הלגה פון קוך בשנת 1904. מקור השם הוא מדמיון העקומה לפתית שלג. פתית השלג של קוך מתקבל על ידי חזרה על שתי פעולות אינסוף פעמים:

חלוקת כל קו ישר לשלושה חלקים שווי אורך.
החלפת החלק האמצעי בכל אחד מהישרים בשני חלקים השווים באורכם לחלק שהוסר היוצרים משולש שווה צלעות עם החלק שהוסר.

Koch iteration.PNG

אם הצורה הראשונית שנתחיל ממנה היא משולש שווה צלעות אז הצורה שתתקבל לאחר אינסוף איטרציות היא פתית השלג של קוך.

Koch snowflake.PNG

תכונות

בכל פעולה אנחנו מחליפים שליש מהקטע בשני חלקים שאורך כל אחד מהם הוא שליש מהקטע. כלומר, אורך הקטע גדל בשליש מאורכו, הווה אומר, אורך הקטע נהיה 4/3 מאורכו המקורי בכל פעולה. לו הינו מבצעים $n$ פעולות אז אורך כל הקטע היה מגיע ל $\left( \frac{4}{3} \right)^n$ , הרי שאם נשאיף את מספר הפעולות לאינסוף נקבל שהיקף פתית השלג של קוך גם הוא שואף לאינסוף: $\lim_{n \to \infty}\left( \frac{4}{3} \right)^n=\infty$

תכונה מעניינת נוספת נוגעת לממד הפרקטלי של פתית השלג. כאמור, בכל פעולה אנחנו מחליפים שלושה קטעים שאורך כל אחד מהם הוא שליש מהקטע המקורי בארבעה קטעים מסוג זה. מכאן, שהממד הפרקטלי של פתית השלג הוא: $\mbox{dim}(\mbox{KochSnowFlake}) = \frac{\log{4}}{\log{3}}\approx 1.262$ . מתברר אפוא שפתית השלג אינו צורה חד ממדית וגם לא צורה דו ממדית אלא צורה פרקטלית

מתמטיקה

Gourt Home::Gourt :: פתית השלג של קוך

תאור

תכונות