פרבולה (מיוונית - παραβολή) היא חתך חרוט הנוצר על ידי חיתוך של חרוט ומישור המשיק לחרוט, או מישור המקביל למישור משיק לחרוט. אם המישור עצמו משיק לחרוט, מתקבלת פרבולה מנוונת, כלומר קו ישר. ניתן להגדיר פרבולה גם כמקום גאומטרי של הנקודות אשר המרחק שלהן מנקודה מסוימת (המוקד) והמרחק שלהן מישר נתון (הישר המנחה) הוא שווה.

הגדרות וסקירה כללית

---

בקואורדינטות קרטזיות, פרבולה עם ציר המקביל לציר y עם נקודת הקיצון $(h^\{\}\_\{\},k)$, נקודת מוקד $(h^\{\}\_\{\},k\; +\; p)$, והקו הישר המנחה $y^\{\}\_\{\}\; =\; k\; -\; p$ מקיימת את המשוואה הבאה -

$(x\; -\; h)^2\; =\; 4p(y\; -\; k)\; \backslash ,$

ניתן לאפיין פרבולה גם על ידי חיתוך חרוט עם אקסצנטריות 1. כתוצאה מכך, כל הפרבולות הינן דומות. פרבולה יכולה להתקבל גם כגבול של סדרה של אליפסות כאשר אחד מהמוקדים שלה נשאר קבוע ואת השני מרחיקים באופן שרירותי לכיוון הנגדי. פרבולה היא טרנספורמציה הפיכה של קרדיואיד (עקום דמוי לב).

לפרובלה יש ציר סימטריה של שיקוף אחד בלבד, אשר עובר דרך המוקד ומאונך לישר המנחה. נקודת החיתוך של ציר זה והפרבולה היא נקודת הקיצון ("נקודת השיא") של הפרבולה. אם נסובב את הפרבולה סביב ציר זה בתלת-ממד, נקבל צורה הידועה כפרבולואיד סיבובי.

הפרבולות מהוות פתרון למגוון בעיות פיזיקליות, ולפיכך מצויות במצבים רבים בטבע.

משוואות

קרטזיות

• ציר סימטריות אנכי:

$(x\; -\; h)^2\; =\; 4p(y\; -\; k)\; \backslash quad$

• ציר סימטריות אופקי:

$(y\; -\; h)^2\; =\; 4p(x\; -\; k)\; \backslash quad$

• משוואה ריבועית (ציר סימטריות אנכי):

$y\; =\; ax^2\; +\; bx\; +\; c\; \backslash ,$

כאשר $a\; =\; \backslash frac\{1\}\{4p\};\; \backslash \; \backslash \; b\; =\; \backslash frac\{-h\}\{2p\};\; \backslash \; \backslash \; c\; =\; \backslash frac\{h^2\}\{4p\}\; +\; k$ ונקודת הקיצון היא $\backslash left(\; \backslash frac\{-b\}\{2a\},\backslash \; \backslash frac\{4ac\; -\; b^2\}\{4a\}\; \backslash right)$.

• משוואה ריבועית (ציר סימטריות אופקי):

$x\; =\; ay^2\; +\; by\; +\; c\; \backslash ;$

a, b, ו-c הם כמו לעיל. הקואורדינטות של נקודת הקיצון הן במהופך.

פרמטריות

$x\; =\; 2pt\; +\; h\; \backslash ,$

$y\; =\; pt^2\; +\; k\; \backslash ,$

פרבולה.PNG

קואורדינטות קוטביות וסמילאטוס רקטום

בקואורדינטות קוטביות, פרבולה עם מוקד בראשית הצירים, ונקודת הקיצון על החלק השלילי של ציר x, נתונה על ידי המשוואה הבאה:

$r\; (1\; -\; \backslash cos\; \backslash theta)\; =\; l\; \backslash ,$

כאשר l הוא הסמילאטוס רקטום (מלטינית, חצי-צד בקו ישר): המרחק בין המוקד עד לפרבולה עצמה, הנמדד לאורך קו הניצב לציר. זהו פעמיים המרחק עד לפסגה.

צורה של ממופת-גאוס

צורה ממופת גאוס: $(\backslash tan^2\backslash phi,2\backslash tan\backslash phi)$ עם הניצב $(\backslash cos\backslash phi,\backslash sin\backslash phi)$.

ראו גם

---

• פרבולואיד
• אליפסה
• היפרבולה
• חתכי חרוט

מיקומו של המוקד

---

בהנתן פרבולה המקבילה לציר הy עם נקודת הקיצון (0,0), הנתונה על ידי המשוואה:

$y\; =\; a\; x^2,\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; (1)$

אז קיימת נקודה $(0,f^\{\}\_\{\})$ - המוקד - כך שכל נקודה P על הפרבולה תהיה במרחק שווה הן מהמוקד והן מישר הניצב לצירה הסימטריה של הפרובלה (הישר המנחה), שבמקרה זה מקביל לציר הx. כיוון שנקודת הקיצון היא אחת מהנקודות P, הרי שמכאן הישר המנחה עובר דרך הנקודה $(0,-f^\{\}\_\{\})$. לכן לכל נקודה $P^\{\}\_\{\}=(x,y)$, היא תהיה במרחק שווה מהנקודות $(0,f^\{\}\_\{\})$ ו-$(x,-f^\{\}\_\{\})$. אנו רוצים למצוא את הערך של f המקיים את התכונה הזו.

יהי F נקודת המוקד, וQ הנקודה $(x,-f^\{\}\_\{\})$. מההגדרה, הישר FP שווה באורכו לישר QP.

$\backslash |\; FP\; \backslash |\; =\; \backslash sqrt\{\; x^2\; +\; (y\; -\; f)^2\; \},$

$\backslash |\; QP\; \backslash |\; =\; y\; +\; f.$

$\backslash |\; FP\; \backslash |\; =\; \backslash |\; QP\; \backslash |$

$\backslash sqrt\{x^2\; +\; (a\; x^2\; -\; f)^2\; \}\; =\; a\; x^2\; +\; f\; \backslash qquad$

נעלה בריבוע את שני האגפים,

$x^2\; +\; (a\; x^2\; -\; f)^2\; =\; (a\; x^2\; +\; f)^2\; \backslash qquad$

$=\; a^2\; x^4\; +\; f^2\; +\; 2\; a\; x^2\; f\; \backslash quad$

$x^2\; +\; a^2\; x^4\; +\; f^2\; -\; 2\; a\; x^2\; f\; =\; a^2\; x^4\; +\; f^2\; +\; 2\; a\; x^2\; f\; \backslash quad$

נצמצם איברים זהים בשני האגפים,

$x^2\; -\; 2\; a\; x^2\; f\; =\; 2\; a\; x^2\; f,\; \backslash quad$

$x^2\; =\; 4\; a\; x^2\; f.\; \backslash quad$

נחלק את שני האגפים ב$x^2\_\{\}$ (x שונה מאפס לרוב. במידה וכן, ניתן להעביר אגפים ולהוציא אותו מחוץ לסוגריים ולהמשיך משם)

$1\; =\; 4\; a\; f\; \backslash quad$

$f\; =\; \{1\; \backslash over\; 4\; a\; \}$

עתה נניח כי p=f ואז המשוואה של הפרבולה הופכת ל:

$x^2\; =\; 4\; p\; y\; \backslash quad$

מ.ש.ל.

תכונת השיקוף של המשיק

---

המשיק לפרבולה מבוטא על ידי המשוואה (1) ויש לו את השיפוע

$\{dy\; \backslash over\; dx\}\; =\; 2\; a\; x\; =\; \{2\; y\; \backslash over\; x\}$

קו זה חוצה את ציר y בנקודה $(0,-y)=(0-a\backslash cdot\; x^2)$, ואת ציר x בנקודה $\backslash left(\; \backslash frac\{x\}\{2\},0\backslash right)$. נקרא לנקודה זו G. נקודה G היא גם נקודת האמצע בין F ל-Q.

$F\; =\; (0,f),\; \backslash quad$

$Q\; =\; (x,-f),\; \backslash quad$

$G\; =\; \{F\; +\; Q\; \backslash over\; 2\}\; =\; \{(0,f)\; +\; (x,-f)\; \backslash over\; 2\}\; =\; \{(x,0)\; \backslash over\; 2\}\; =\; \backslash left(\{x\; \backslash over\; 2\},\; 0\backslash right).$

כיוון ש-G היא נקודת האמצע של הישר FQ, הרי שמכאן נובע:

$\backslash |\; FG\; \backslash |\; \backslash cong\; \backslash |\; GQ\; \backslash |,$

וידוע כבר כי שP נמצא במרחק שווה מF ו-Q:

$\backslash |\; PF\; \backslash |\; \backslash cong\; \backslash |\; PQ\; \backslash |,$

ושלישית, הישר GP שווה לעצמו, לכן:

$\backslash Delta\; FGP\; \backslash cong\; \backslash Delta\; QGP$

מכאן נובע כי: $\backslash angle\; FPG\; \backslash cong\; \backslash angle\; GPQ$.

את הישר QP ניתן להאריך מעבר לP לנקודה T כלשהי, ואת הישר GP ניתן להאריך מעבר לP לנקודה R כלשהי. לכן $\backslash angle\; RPT$ ו-$\backslash angle\; GPQ$ הן זוויות קודקודיות, כלומר הן שוות. אולם $\backslash angle\; GPQ$ שווה ל $\backslash angle\; FPG$. לכן $\backslash angle\; RPT$ שווה ל $\backslash angle\; FPQ$.

הישר RG משיק לפרבולה בנקודה P, לכן כל אלומת אור המוחזרת מנקודה P תתנהג כאילו הקו RG הוא מראה, ולכן האלומה תשוקף על ידי מראה זו.

נניח כי אלומת אור נעה על הקו האנכי TP , ומוחזרת מנקודה P. זווית הנטייה של הקרן אור מהמראה היא $\backslash angle\; RPT$, לכן כאשר הקרן מוחזרת, זווית ההחזרה חייבת להיות שווה $\backslash angle\; RPT$. אולם הראינו כי $\backslash angle\; FPG$ שווה ל $\backslash angle\; RPT$. לכן האלומה מוחזרת לאורך הישר FP היישר אל המוקד.

מסקנה: כל אלומת אור הנעה אנכית כלפי מטה בשקערורית של הפרבולה (במקביל לציר הסימטריה), תוחזר מהפרבולה היישר לכיוון המוקד. תכונה זו משמשת בבניית מחזיר-אור פרבולי.

פרבולות בעולם הפיזיקלי

---

בטבע, ניתן למצוא קירובים של פרבולות ופרבולואידים בסיטואציות רבות ומגוונות. הדוגמה הידועה ביותר להימצאות הפרבולה בהיסטוריה של הפיזיקה היא המסלול של חלקיק או גוף בתנועה תחת השפעה של שדה כבידה אחיד ללא התנגדות אוויר (למשל, כדור שעף באוויר ללא כוחות מניעים ובהזנחת חיכוך האוויר). המסלול הפרבולי של גופים התגלה בניסויים של גלילאו בתחילת המאה ה-17, כאשר האחרון ביצע ניסויים עם כדורים המתגלגלים על מישורים משופעים. מאוחר יותר, נכונות הצורה הפרבולית של המסלולים הוכחה על ידי אייזיק ניוטון. לעצמים לא-נקודתיים (כגון שחיין הקופץ ממקפצה לבריכה), העצם עצמו יכול לבצע תנועה מורכבת של תנועות עצמיות כגון סיבובים או רטט, אך מרכז המסה של העצם יבצע בכל זאת מסלול פרבולי. באופן כללי, כל המסלולים הללו הן קירוב של פרבולה; נוכחות התנגדות האוויר תמיד מעוותת את הצורה של המסלול, למשל, אולם במהירויות נמוכות, הצורה מהווה קירוב טוב לפרבולה. במהירויות גבוהות יותר, כמו בבליסטיקה, הצורה מעוותת מאד, ולא מזכירה כלל פרבולה.

DSCN8987 orangeparabola e.jpg

מצב אחר בו פרבולה יכולה להופיע בטבע הוא בתנועות של גרמי שמים זה סביב זה, כלומר תנועה של כוכב-לכת או עצם אחר תחת השפעה של כוח הכבידה של השמש. המסלולים הפרבוליים הם מקרים מאוד מיוחדים בטבע; מסלולים אשר יוצרים היפרבולה או אליפסה נפוצים הרבה יותר. למעשה, המסלול הפרבולי הוא מקרה גבולי בין שני הסוגים הללו של מסלולים.

ניתן למצוא קירובים של פרבולות גם בצורה של הכבלים בגשרים תלויים. כבלים התלויים בחופשיות לא מתארים פרבולות אלא יותר עקומים קטנריים. אולם, תחת ההשפה של עומס אחיד (לדוגמה, הסיפון של הגשר), צורת הכבלים מעוותת לכמעט פרבולה.

כמו כן, גם פרבולואידים מופיעים במספר מצבים פיזיקליים. הדוגמה הידועה ביותר היא מחזיר-אור פרבולי, העשוי ממראה או מתקן מחזיר אור אחר אשר מרכז אור או צורות אחרות של קרינה אלקטרומגנטית לנקודת מוקד משותפת. העיקרון של המחזיר-אור הפרבולי התגלה על ידי ארכימדס במאה ה-3, אשר בנה מראות פרבוליות כדי להגן על סירקוסאי שבסיציליה מפני הצי הרומאי, על ידי ריכוז קרני האור בכדי להעלות באש את הספינות הרומיות. העיקרון יושם גם בטלסקופים במאה ה-17. היום, ניתן למצוא מחזירי-אור פרבוליים במיקרוגל וצלחות אנטנה של הלווין.

ניתן למצוא גם את צורת הפרבולואיד בפני השטח של נוזל הנמצא במיכל ומסובב סביב הציר המרכזי. במקרה זה, הכוח הצנטריפוגלי (כוח מדומה), גורם לפני השטח של הנוזל לעלות על הקירות של המיכל תוך כדי קבלת צורה של משטח פרבולואידי.

בניית פרבולה

---

ניתן לבנות פרבולה מצורה גאומטרית בדרך הבאה: צייר נקודת מוקד F, נקודת קיצון (נקודת השיא של הפרבולה), ישר מנחה q, וקו ישר r העובר דרך נקודת הקיצון ומקביל לישר q. בחר נקודה Q₁ על הישר המנחה. צייר את הקו הישר FQ₁ אשר חוצה את הישר r בנקודה R₁. קו ישר העובר דרך R₁ ומאונך לישר FQ₁ יחתוך קו אחר אשר עובר דרך Q₁ ומאונך לישר q בנקודה P₁. הנקודה P₁ היא על הפרבולה והקו R₁P₁ משיק לפרבולה. בחר נקודה נוספת Q₂ על הישר המנחה q וחזור על הצעדים לפי התבנית לעיל בכדי לקבל את הנקודה P₂. המשך עם הנקודות $Q\_3,\; P\_3,\; Q\_4,\; P\_4,\; Q\_5,\; P\_5$, וכו'. אם הנקודות $Q\_1,\; Q\_2,\; Q\_3,\; ...$ היו משורטטות ברצף, הרי שאת הנקודות $P\_1,\; P\_2,\; P\_3\; ...$ אפשר היה לשרטט ברצף ולקבל את הפרבולה.

בנייה על ידי קיפולי נייר

צייר קו ישר על פיסת נייר, ונקודה במקום כלשהו שלא על הקו. קפל את הנייר כך שהנקודה נוגעת בקו וקמט את הקיפול. עשה זאת מספר פעמים. המעטפה שתיווצר על ידי הקימוטים תתקבל בצורה של פרבולה נאה.

ניתן ליצור אליפסה או היפרבולה בצורה דומה על ידי שימוש במעגל ונקודה.

קישורים חיצוניים

---

• ד"ר ארליך - על תכונה מיוחדת של פרבולה
• MathWorld: פרבולה (אנגלית)

גאומטריה | חתכי חרוט

Parabola | قطع مكافىء | Paràbola | Parabola | Parabel | Parabel (Mathematik) | Parabolo | Parábola | Parabool | Paraabeli | Parabole | Parabola | Parabola (geometria) | 放物線 | Parabool (wiskunde) | Parabel | Parabola (matematyka) | Parábola | Парабола | Parabola | Parabel (kurva) | Parabol | 抛物线