בתורת החבורות, למושג סדר יש שתי משמעויות שונות, אך קשורות.

סדר של חבורה

---

בהינתן חבורה G, הסדר שלה הוא עוצמתה, |G|. העוצמה יכולה להיות סופית או אינסופית.

משפט בסיסי העוסק בתכונות של סדרים של חבורות הוא משפט לגראנז' האומר כי בהינתן חבורה G, הסדר של כל תת חבורה של G מחלק את הסדר של G.

סדר של איבר בחבורה

---

בהינתן חבורה $\backslash ,\backslash !\; G$ ואיבר כלשהו $\backslash ,\backslash !\; g\backslash isin\; G$, הסדר של $\backslash ,\backslash !\; g$ שמסומן $\backslash ,\backslash !\; o(g)$ הוא החזקה הטבעית הקטנה ביותר $\backslash ,\backslash !\; n$ של $\backslash ,\backslash !\; g$ שעבורה $\backslash ,\backslash !\; g^n=e$, האיבר האדיש בחבורה. אם לא קיים מספר שכזה, נאמר שהעוצמה של $\backslash ,\backslash !\; g$ היא אינסופית, ונסמן $\backslash ,\backslash !\; o(g)=\backslash infty$.

מסקנה אחת ממשפט לגראנז' מקשרת בין מושג הסדר של החבורה לסדר של איבר בחבורה - הסדר של איבר בחבורה מחלק תמיד את סדר החבורה, אם סדר החבורה סופי. נראה זאת: תהא $\backslash ,\backslash !\; G$ חבורה סופית ויהא $\backslash ,\backslash !\; g\backslash isin\; G$ מסדר סופי. אז נביט בתת החבורה הציקלית $\backslash ,\backslash !\; \backslash langle\; g\backslash rangle$ הנוצרת על ידי $\backslash ,\backslash !\; g$. סדר תת החבורה הזו הוא בדיוק הסדר של $\backslash ,\backslash !\; g$, כי החל מ$\backslash ,\backslash !\; g^n$ מתחילים איברי החבורה לחזור על עצמם. על פי משפט לגראנז', סדר החבורה הזו מחלק את סדר $\backslash ,\backslash !\; G$.

מכאן נובעת מסקנה מיידית חשובה נוספת: בהינתן חבורה סופית $\backslash ,\backslash !\; G$, כל איבר בחבורה בחזקת סדר החבורה הוא האיבר האדיש. נראה זאת: יהא $\backslash ,\backslash !\; g\backslash isin\; G$ כלשהו, אז $\backslash ,\backslash !\; o(g)||G|$ ולכן $\backslash ,\backslash !\; |G|=k\backslash cdot\; o(g)$. על כן: $\backslash ,\backslash !\; g^\{|G|\}=g^\{k\backslash cdot\; o(g)\}=\backslash left(g^\{o(g)\}\backslash right)^k=e^k=e$.

עוד מסקנה מיידית היא שחבורה מסדר שהוא מספר ראשוני היא בהכרח ציקלית, וכל איבר פרט לאיבר האדיש הוא יוצר שלה (שכן הסדר של כל איבר פרט לאיבר האדיש הוא סדר החבורה).

תורת החבורות

Order (group theory) | Řád prvku | Ordnung eines Gruppenelementes