משוואה דיפרנציאלית היא משוואה הכוללת משתנים, פונקציות של המשתנים הללו, ונגזרות של פונקציות אלה, וכן קבועים (מספרים). הפונקציות (ונגזרותיהן) במשוואה מסומנות רק באות בודדת. פתרונה של המשוואה הוא ניסוחה המלא של הפונקציה, או הפונקציות, שהצבתן במשוואה תקיים אותה.

משוואות דיפרנציאליות הן משני סוגים:

• משוואות דיפרנציאליות רגילות, שבהן יש משתנה יחיד, פונקציות שלו ונגזרותיהן.
• משוואות דיפרנציאליות חלקיות, שבהן יש פונקציות של משתנים אחדים ונגזרות חלקיות שלהן.

באופן כללי, אין זה פשוט לפתור משוואה דיפרנציאלית, ואין שיטה כללית לפתרון של משוואה כזו. לעתים ניתן רק להגיע לקירוב של הפתרון אך לא לפתרון עצמו. עם זאת, עבור סוגים מסוימים של משוואות יש פתרונות שיטתיים, ועבור סוגים נוספים יש שיטות שמסייעות לעתים רבות למצוא את הפתרונות.

משוואות דיפרנציאליות רגילות

---

ניתן להפריד בין סוגים שונים של משוואות על פי הסדר שלהן. סדר של משוואה דיפרנציאלית הוא הסדר של הנגזרת הגבוהה ביותר של הפונקציה הנעלמת שמופיעה בה. כמו כן, ניתן להבדיל בין משוואה דיפרנציאלית יחידה ובין מערכת של מספר משוואות דיפרנציאליות, שבהן מחפשים יותר מפונקציה אחת. ניתן להראות כי כל משוואה דיפרנציאלית מסדר $\backslash \; n$ ניתנת להצגה כמערכת של $\backslash \; n$ משוואות דיפרנציאליות מסדר 1.

משווואות מסדר ראשון

באופן כללי, משוואה מסדר ראשון מתוארת על ידי הפונקציה $\backslash \; F\backslash left(y,y\text{'},x\backslash right)=0$. אנו מחפשים פונקציה $\backslash \; y(x)$ כך שכאשר נציב אותה בפונקציה $\backslash \; F$ נקבל 0.

לדוגמה, אם $\backslash \; F(y,y\text{'},x)=y\text{'}-2y$ המשוואה המתוארת על ידי הפונקציה היא $\backslash \; y\text{'}-2y=0$, והפתרון הכללי של המשוואה הוא $\backslash \; Ae^\{2x\}$, שכן $\backslash \; (Ae^\{2x\})\text{'}=2Ae^\{2x\}$, ולכן אם נציב נקבל $\backslash \; 2Ae^\{2x\}-2Ae^\{2x\}=0$, כמבוקש.

קיימים מספר סוגים של משוואות שיש שיטות מתודיות לפתרונן. ברוב המקרים הבעיה של מציאת פתרון למשוואה דיפרנציאלית הופכת לבעיה של מציאת אינטגרל לפונקציה כלשהי, אם כי גם מציאת אינטגרל אינה שיטתית ולא תמיד ניתנת לביצוע. עם זאת, פתרונות הנתונים על ידי אינטגרל, גם אם לא פתור, יכולים להיות שימושיים מאוד, וגם לא בהכרח קשה לחשב את ערכם המקורב לכל צורך מעשי.

על פי רוב, למשוואה דיפרנציאלית לא קיים פתרון אחד אלא אוסף של פתרונות. לכן נהוג לספק תנאי התחלה שיצביע על הפתרון הפרטי המבוקש. עבור משוואות מסדר ראשון קיים משפט קיום ויחידות המבטיח עבור אוסף רחב של משוואות כי לכל תנאי התחלה קיים פתרון והוא יחיד.

משוואות לינאריות מסדר ראשון

משוואה לינארית מסדר ראשון היא משוואה מהצורה $\backslash \; y\text{'}+h(x)y+g(x)=0$. כלומר, הן הפונקציה והן נגזרתה מופיעות לבדן ולא כחלק מפונקציה מורכבת (למשל $\backslash \; \backslash ln(y)$). הפונקציה הנעלמת מוכפלת בפונקציה כלשהי של $\backslash \; x$ ופונקציה נוספת של $\backslash \; x$ היא "גורם חופשי" של המשוואה.

משוואות לינאריות ניתנות תמיד לפתרון, והדרך לפתרונן ישירה.

אם $\backslash \; g(x)\backslash equiv\; 0$, כלומר המשוואה היא מהצורה $\backslash \; y\text{'}+h(x)y=0$, המשוואה נקראת "משוואה לינארית הומוגנית". יש לשים לב שאין קשר בין משוואה דיפרנציאלית לינארית הומוגנית ובין משוואה דיפרנציאלית הומוגנית - זהו שם דומה שניתן לשני סוגים שונים של משוואות.

משוואות ספרביליות (ניתנות להפרדה)

משוואה דיפרנציאלית נקראת ספרבילית אם היא מהצורה $\backslash \; y\text{'}+M(x)N(y)=0$ או שניתן להביאה לצורה זו. כלומר, ניתן להפריד בין המשתנה $\backslash \; x$ והמשתנה $\backslash \; y$. דרך כתיבה נוספת למשוואה זו היא $\backslash \; M(x)dx=N(y)dy$, כלומר, "מפרקים" את הנגזרת $\backslash \; y\text{'}=\backslash frac\{dy\}\{dx\}$ למרכיבים שכל אחד באגף נפרד. נשים לב כי זהו סימון בלבד.

פתרון של משוואה ספרבילית נעשה באמצעות הבאתה לצורה $\backslash \; M(x)dx=N(y)dy$ וביצוע אינטגרציה לשני האגפים: $\backslash \; \backslash int\_\{x\_0\}^x\; M(x)dx=\backslash int\_\{y\_0\}^y\; N(y)dy$, כאשר $\backslash \; y\_0=y(x\_0)$ הוא תנאי ההתחלה של המשוואה. (זו אמנם אינה דרך פתרון שכל הצעדים בה תקינים פורמלית, אך ניתן להוכיח כי היא מחזירה את התוצאה הנכונה).

משוואות מדוייקות וגורמי אינטגרציה

משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון נקראת מדוייקת אם היא מהצורה $\backslash \; M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ כך שמתקיים $\backslash \; \backslash frac\{\backslash partial\; M\}\{\backslash partial\; y\}=\backslash frac\{\backslash partial\; N\}\{\backslash partial\; x\}$.

כדי לפתור משוואה מדוייקת, מחפשים פונקציה $\backslash \; \backslash psi(x,y)$ אשר תקיים $\backslash \; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; x\}=M,\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; y\}=N$. אם נמצאה פונקציה כזו, הפתרון של המשוואה נתון על ידי $\backslash \; \backslash psi(x,y)=0$.

אם משוואה איננה מדוייקת, ניתן לנסות ולהביא אותה לצורה של משוואה מדוייקת על ידי הכפלת שני האגפים בפונקציה כלשהי. פונקציה שמכפלה בה הופכת את המשוואה למדוייקת נקראת גורם אינטגרציה.

משוואות הומוגניות

משוואה דיפרנציאלית הומוגנית היא משוואה מהצורה $\backslash \; y\text{'}+f(x,y)=0$ כאשר מתקיים $\backslash \; f(x,y)=f(tx,ty)$ לכל $\backslash \; t\backslash in\backslash mathbb\{R\}$. ניתן להביא משוואה שכזו לצורה של משוואה ספרבילית על ידי החלפת משתנים עם ההצבה $\backslash \; z=\backslash frac\{y\}\{x\}$.

משוואת ברנולי

משוואה דיפרנציאלית מהצורה $\backslash \; y\text{'}+p(x)y=q(x)y^n$ נקראת משוואת ברנולי (על שם המתמטיקאי יעקב ברנולי). משוואה שכזו ניתן לפתור על ידי ההצבה $\backslash \; z=y^\{1-n\}$, שממנה מקבלים את המשוואה הלינארית $\backslash \; z\text{'}+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)$.

משוואות מסדר שני

באופן כללי, משוואה מסדר שני מתוארת על ידי הפונקציה $\backslash \; F\backslash left(y,y\text{'},y\text{'}\text{'},x\backslash right)=0$. משוואות מסדר שני קשות לפתרון יותר מאשר משוואות מסדר ראשון, אך קיימות שיטות פתרון יעילות עבור משוואות לינאריות מסדר שני. שיטות אלו הן מקרים פרטיים של השיטות הכלליות לטיפול במשוואה לינארית מסדר כלשהו, אך בשל פשטותן היחסית הן יותר קלות לשימוש ולהבנה מאשר השיטות הכלליות.

משוואות לינאריות הומוגניות מסדר שני

משוואה לינארית הומוגנית מסדר שני היא משוואה מהצורה $\backslash \; y\text{'}\text{'}+p(x)y\text{'}+q(x)y=0$. סכום וכפל בקבוע של פתרונות של משוואה זו גם הוא פתרון, ועל כן הפתרונות מהווים מרחב וקטורי, לכן ניתן למצוא בסיס למרחב זה, כלומר שני פתרונות פרטיים בלתי תלויים של המשוואה כך שכל פתרון של המשוואה יכול להיכתב כצירוף לינארי שלהם.

תנאי הכרחי ומספיק לכך ששני פתרונות יהוו בסיס מובע באמצעות מטריצה של הפונקציות ונגזרותיהן הראשונות, הנקראת ורונסקיאן.

קיימת שיטה כללית שמאפשרת, בהינתן פתרון אחד למשוואה ההומוגנית, למצוא פתרון בלתי תלוי בו. על כן, כדי לפתור משוואה הומוגנית לינארית מסדר שני, די למצוא פתרון אחד (אבל גם זה יכול להיות קשה מאוד לעתים).

כאשר הפונקציות $\backslash \; p(x),q(x)$ הן קבועים, כלומר המשוואה היא מהצורה $\backslash \; y\text{'}\text{'}+ay\text{'}+by$, קיימים פתרונות למשוואה מהצורה $\backslash \; e^\{\backslash lambda\; x\}$, כאשר $\backslash \; \backslash lambda$ הוא שורש של הפולינום $\backslash \; t^2+at+b$ (פולינום זה מכונה הפולינום האופייני של המשוואה). אם יש שני שורשים שונים, שני הפתרונות שהם נותנים הם בלתי תלויים. אם יש רק שורש יחיד, $\backslash \; xe^\{\backslash lambda\; x\}$ הוא פתרון בלתי תלוי. אם השורשים הם מספרים מרוכבים, ניתן על ידי חיבורם או חיסורם וחלוקה בקבוע לקבל שני פתרונות בלתי תלויים ממשיים - אם $\backslash \; \backslash lambda+i\backslash mu$ הוא שורש, מקבלים את הפתרונות $\backslash \; e^\{\backslash lambda\; x\}\backslash sin(\backslash mu\; x),e^\{\backslash lambda\; x\}\backslash cos(\backslash mu\; x)$.

קישורים חיצוניים

---

• משוואות דיפרניצאליות רגילות ב-MathWorld
• הסבר על שיטות לפתרון של משוואות דיפרנציאליות רגילות, באתר UnderWarrior (קובץ PDF)
• משוואות דיפרנציאליות חלקיות ב-MathWorld
• הסבר על שיטות לפתרון של משוואות דיפרנציאליות חלקיות, באתר UnderWarrior (קובץ PDF)

אנליזה מתמטית

Differential equation | Differensiaalvergelyking | Диференциално уравнение | Equació diferencial | Diferenciální rovnice | Differentialligning | Differentialgleichung | Ecuación diferencial | معادله دیفرانسیل | Differentiaaliyhtälö | Équation différentielle | Equazione differenziale | 微分方程式 | 미분방정식 | Differentiaalvergelijking | Równanie różniczkowe | Equação diferencial | Ecuaţie diferenţială | Differentialekvation | สมการเชิงอนุพันธ์ | Diferansiyel denklemler | 微分方程