בטופולוגיה, מרחב מכפלה הוא מרחב טופולוגי שהתקבל ממרחבים קיימים על ידי מכפלה קרטזית שלהם. על מרחב המכפלה ניתן להגדיר מספר סוגים שונים של טופולוגיות, והמקובלת ביותר היא הטופולוגיה המכונה "טופולוגיית המכפלה".

הגדרה פורמלית

---

תהיה $\backslash left\backslash \{X\_n\backslash right\backslash \}\_\{n\backslash isin\backslash Lambda\}$ משפחה של מרחבים. מכפלתם היא המכפלה הקרטזית שלהם

$X=\backslash prod\_\{n\; \backslash in\; \backslash Lambda\}\; X\_n$.

עבור כל קוארדינטה $\backslash !\backslash ,\; n$ קיימת פונקציית ההטלה $\backslash !\backslash ,\; p\_n:X\backslash rarr\; X\_n$ שלכל נקודה במרחב המכפלה מחזירה את ערך הקוארדינטה $\backslash !\backslash ,\; n$ שלה. טופולוגית המכפלה על המרחב הזה תוגדר בתור הטופולוגיה החלשה ביותר (כלומר, בעלת המספר הקטן ביותר של קבוצות פתוחות) שעבורה כל ההטלות הן פונקציות רציפות.

ניתן לאפיין בקלות יחסית את תת הבסיס של טופולוגיה זו: תת-הבסיס מורכב ממכפלה קרטזית של קבוצה פתוחה $\backslash \; V\_\{N\}\; \backslash subset\; X\_\{N\}$ בשאר המרחבים, כלומר: $\backslash \; U\_\{N\}\; =\; V\_\{N\}\; \backslash times\; \backslash prod\_\{n\; \backslash ne\; N\}\; X\_n$. קבוצה מהצורה הזאת נקראת "קבוצה גלילית". הבסיס מתקבל על ידי לקיחת כל החיתוכים הסופיים של קבוצות גליליות.

טופולוגיה

Product topology | Produkttopologie | Topologia prodotto | Topologia Tichonowa