באלגברה לינארית, כפל של מטריצות מוגדר כך שהכפלת המטריצות המייצגות של שתי העתקות לינאריות היא המטריצה המייצגת את הרכבת ההעתקות. המכפלה של מטריצות אינה חילופית (כלומר, בדרך כלל $\backslash \; AB\; \backslash neq\; BA$). המכפלה של מטריצה $\backslash ,A$ במטריצה $\backslash ,B$ מוגדרת רק כאשר מספר העמודות של $\backslash ,A$ שווה למספר השורות של $\backslash ,B$, ואז מספר השורות במכפלה $\backslash ,AB$ שווה למספר השורות של $\backslash ,A$, ומספר העמודות שווה למספר העמודות של $\backslash ,B$. ממבט ראשון נראה אולי שיותר טבעי להכפיל מטריצות איבר איבר, אבל דרך זו אינה שימושית או מועילה במיוחד.

הגדרת הכפל

---

תהא $\backslash \; A=(a\_\{ij\})$ מטריצה מסדר $\backslash \; n\backslash times\; m$, ותהא $\backslash \; B=(b\_\{ij\})$ מטריצה מסדר $\backslash \; m\backslash times\; p$, אז מכפלתן היא מטריצה מסדר $\backslash \; n\backslash times\; p$ המקיימת $\backslash \; (AB)\_\{ij\}=\backslash sum\_\{k=1\}^m\; a\_\{ik\}b\_\{kj\}$.

נסביר זאת: כל איבר במטריצה, שנמצא בשורה $\backslash \; i$ ובעמודה $\backslash \; j$ הוא למעשה ערך וקטור השורה מספר $\backslash \; i$ במטריצה הראשונה כפול וקטור העמודה ה- $\backslash \; j$ של המטריצה השנייה. נשים לב שמספר האיברים הן בשורה והן בעמודה זהה - $\backslash \; m$. על כן הדרישה שמספר העמודות במטריצה הראשונה יהיה זהה למספר השורות במטריצה השנייה - מספר העמודות במטריצה הראשונה קובע כמה איברים יהיו בכל שורה, ואילו מספר השורות במטריצה השנייה קובע כמה איברים יהיו בכל עמודה. כאן פעולת הכפל של הוקטורים דומה למכפלה סקלרית רכיב רכיב: כופלים כל זוג איברים בעלי אותו מספר, וסוכמים את כל המכפלות.

התמונה מראה כפל של מטריצה מסדר $\backslash \; 2\backslash times\; 4$ במטריצה מסדר $\backslash \; 4\backslash times\; 3$: המטריצה המתקבלת היא מסדר $\backslash \; 2\backslash times\; 3$. בתמונה מראים כיצד מחושב האיבר $\backslash \; (AB)\_\{12\}$ במטריצה: מוכפלת השורה הראשונה במטריצה $\backslash \; A$ בעמודה השנייה במטריצה $\backslash \; B$.

Matrix multiplication diagram.PNG

לשתי מטריצות יש תפקיד מיוחד ביחס לכפל: מטריצת האפס (שכל רכיביה אפסים) היא נייטרלית ביחס לחיבור (כלומר $\backslash \; A+0=0+A=A$, ותוצאת הכפל באפס היא תמיד אפס ($\backslash \; 0\; \backslash cdot\; A\; =\; A\; \backslash cdot\; 0\; =\; 0$). מטריצת היחידה $I$, שהיא המטריצה שרכיבי האלכסון שלה הם 1 ושאר הרכיבים אפס, היא נייטרלית ביחס לכפל: $\backslash \; A\; \backslash cdot\; I\; =\; I\; \backslash cdot\; A\; =\; A$.

אוסף המטריצות מעל שדה, עם פעולת החיבור הרגילה והכפל שהוגדר כאן, הוא חוג פשוט.

שימושי הכפל

למרות שנראה כי הגדרתו של הכפל בלתי אינטואיטיבית, ניתן לראות במספר דוגמאות את יעילותו:

1. כאשר מייצגים טרנספורמציות לינאריות באמצעות מטריצות, הטרנספורמציה המתקבלת מהרכבת אחת הטרנספורמציות על השנייה מיוצגת באמצעות מטריצה שהיא מכפלת המטריצות המייצגות של הטרנספורמציות המורכבות.
2. בייצוג טרנספורמציה לינארית על ידי מטריצה, הפעלת הטרנספורמציה על וקטור שקולה להכפלת וקטור הקוארדינטות שלו במטריצה.
3. הדטרמיננטה של מכפלה של שתי מטריצות שווה למכפלה של שתי הדטרמיננטות שלהן.

מכפלה טנזורית של מטריצות

---

ישנה דרך נוספת להגדיר כפל של מטריצות: אם $\backslash \; A\; =\; (a\_\{ij\})$ היא מטריצה בגודל $\backslash \; n\; \backslash times\; m$ ו- B היא מטריצה בגודל $\backslash \; r\; \backslash times\; s$, אז המכפלה הטנזורית שלהם, $\backslash \; A\; \backslash otimes\; B$, היא מטריצה בגודל $\backslash \; mr\; \backslash times\; ns$ המורכבת מן הבלוקים $\backslash \; a\_\{ij\}\backslash cdot\; B$.

מכפלה זו נקראת גם "מכפלת קרונקר", על-שם לאופולד קרונקר.

מכפלת הדמר

---

מכפלה איבר איבר של מטריצות מכונה "מכפלת הדמר" (Hadamard). באופן פורמלי היא מוגדרת כך: אם $\backslash \; A\; =\; (a\_\{ij\})$, $\backslash \; B\; =\; (b\_\{ij\})$ הן שתי מטריצות בגודל $\backslash \; n\; \backslash times\; m$, אז מכפלת הדמר שלהן מוגדרת כך: $\backslash \; A\backslash circ\; B\; =\; (a\_\{ij\}\backslash cdot\; b\_\{ij\})$. עבור מטריצות שאינן מאותו גודל המכפלה אינה מוגדרת.

תכונותיה של מכפלה זו נחקרות במסגרת תורת המטריצות, אך היא אינה שימושית במיוחד בתחומים אחרים.

---

אלגברה לינארית

Matrix multiplication | Násobení matic | Producto de matrices | Produit matriciel | Moltiplicazione di matrici | Matrixvermenigvuldiging | Mnożenie macierzy