הרכבת פונקציות היא פעולה מתמטית שבה מופעלת פונקציה אחת על התוצאות של פונקציה אחרת. הפונקציות f: X → Y ו- g: Y → Z ניתנות להרכבה על ידי הצבת ערך x בפונקציה f ואת התוצאה להציב בפונקציה g. כך מתקבלת פונקציה חדשה המורכבת מ-f ו-g כך ש: g o f: X → Z
הגדרתה: ((g o f)(x) = g(f(x) לכל x איבר ב-X''.
(o - מסמל פעולת הרכבת פונקציה)

במילים פשוטות

---

fgg.jpg

נחשוב רגע על תנור. לתנור מכניסים בצק מסוג כלשהו ולאחר תהליך מקבלים בצק אפוי מסוג כלשהו. אם נכניס בצק של לחם נקבל לחם, אם נכניס בצק של עוגה נקבל עוגה. השינוי מתבצע על ידי תהליך שנקרא אפייה. עכשיו נסתכל על השורה הבאה:

oven(doe)=bake doe

doe הוא הבצק שהכנסנו לתנור (oven) והפעולה שביצענו הייתה "bake doe", כלומר לאפות את הבצק.

עכשיו נמציא מכונה (ונקרא לה בקיצור f) שמקבלת מספר כלשהו (נקרא לו x, כמו שקראנו לבצק מסוג כלשהו doe) והתהליך שנבצע עליו יהיה להעלות אותו בריבוע ולהוסיף לו אחת. נסמן את המכונה אותו דבר:

f(x)=x²+1

מעכשיו במקום להשתמש במילה "מכונה" נשתמש במילה "פונקציה". הנה פונקציה אחרת:

g(x)=x+8

המכונה (הפונקציה g) מקבלת מספר כלשהו והתהליך שהמספר עובר בה הוא הוספה של שמונה.

אפשר להסתכל על הרכבה של פונקציות בתור "הצמדה" של המכונות. כלומר, מעבירים את המספר הרצוי דרך שתי הפונקציות אחת אחרי השנייה (כמו בציור משמאל). נסמן הצמדה מסוג זה שבציור (f(g(x. (שימו לב, למרות ש-f כתובה ראשונה מחשבים קודם את g). קל להבין את הסימון הזה אם מבינים שהחלפנו את ה-x בפונקציה f ב-(g(x. כלומר מכניסים את התוצאה של (g(x לפונקציה f ומבצעים עליה את הפעולה הרגילה שמבצעת f.

דוגמה נוספת

---

נניח שנתונה הפונקציה: f(x)=x²+1, , אם x=2 אז אפשר לכתוב f(2)=2²+1 ואם נתון x=3 אז אפשר לכתוב f(3)=3²+1. זה פשוט לכתיבה, אבל לפעמים פשוט יותר להציג פונקציה כשתי פונקציות אחרות. לדוגמה: אם g(x)=cos x ו- f(x)=x²+3x-1 אפשר לכתוב כך: g(f(x))=cos x²+3x-1. בעצם, החלפנו את המשתנה x בפונקציה (f(x, פונקציה כזאת שבנויה מכמה פונקציות אחרות, נקראת פונקציה מורכבת.

תכונות וסימונים

---

פעולת הרכבת הפונקציות היא אסוציאטיבית (בעברית: קיבוצית, כלומר, מקיימת את חוק הקיבוץ).

לצרכי נוחות, לפעמים משתמשים בסימוני חזקות לציון הרכבות מרובות (כמו שחזקה עבור מספר היא סימון מקוצר לכפולות שלו עם עצמו, כך שכתיבת סמל חזקה על פונקציה (f²(x, היא בדרך כלל קיצור לפעולת ההרכבה שלה עם עצמה). כתיבה של פונקציה בחזקת 0 היא פונקציית הזהות ופונקציה בחזקות שליליות הן פונקציות הפוכות.

שימוש

---

הרכבת פונקציות היא פעולה מאוד נפוצה ושימושית, פונקציה הפוכה מוגדרת למשל כפונקציה שהרכבתה על הפונקציה המקורית (ולהיפך) מחזירה את המשתנה המקורי. בחשבון אינפיניטסימלי קיים כלל פשוט לגזירה של הרכבת פונקציות שנקרא כלל השרשרת.

מתמטיקה | תורת הקבוצות | אנליזה מתמטית

Function composition | Sammensat funktion | Komposition (Mathematik) | Yhdistetty funktio | Composition de fonctions | Composizione di funzioni | Złożenie funkcji | Композиция функций | 复合函数