ספירה על בסיס בינארי היא ספירה לפי בסיס 2. היא פותחה במקור על ידי גוטפריד וילהלם לייבניץ במאה ה-17. היא משמשת כיום בעיקר בתחום המחשבים - זאת מכיוון שבמחשב יש שני מצבים לכל ספרה - 0 (כבוי) ו-1 (דולק).

כאמור, סימניה של הספירה הבינארית הם 0 ו-1 כלומר, כל המספרים הבינארים מורכבים מהספרות 0 ו-1. זאת בניגוד לסימני הספירה העשרונית המקובלת כיום בעולם שסימניה (ספרותיה) הם: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

דוגמאות למספרים בינארים:

$\backslash !\backslash ,\; 0,1,00011,10000,11111,101010$

כמובן שמספרים אלו נראים כמספרים "רגילים" (כאלו שאנו מכירים בחיי היומיום שלנו), אך אלו גם יכולים להתפרש כמספרים בשיטת הספירה הבינארית.

מעבר ממספרים בינאריים למספרים עשרוניים

---

בסיס הספירה העשרונית הוא 10, משום שלספירה זו 10 סימנים.
פירוק מספר עשרוני:

$\backslash !\backslash ,\; 1452=1\backslash cdot1000+4\backslash cdot100+5\backslash cdot10+2=1\backslash cdot10^3+4\backslash cdot10^2+5\backslash cdot10^1+2\backslash cdot10^0$

אנו רואים כי הבסיס המשותף לכל האיברים הוא 10. בסיס הספירה הבינארית הוא 2 (לספירה זו שני סימנים), לכן נפרק את המספר הבינארי הבא בהתאם לפירוק המספר המספר העשרוני:

$\backslash !\backslash ,\; 1101\; =\; 1\backslash cdot2^3+1\backslash cdot2^2+0\backslash cdot2^1+1\backslash cdot2^0=\; 8+4+0+1=13$

מכאן שהמספר 1101 בספירה בינארית שקול למספר 13 בספירה עשרונית.
לכן נציג נוסחה כללית, למעבר מספרה המוצגת בבסיס בינארי לבסיס עשרוני (באגף השמאלי מופיע המספר הבינארי, ומימין פישוטו למספר עשרוני):

$\backslash !\backslash ,\; a\_1a\_2a\_3...a\_n\; =\; a\_1\backslash cdot2^\{n-1\}\; +\; a\_2\backslash cdot2^\{n-2\}\; +\; a\_3\backslash cdot2^\{n-3\}\; +...\; +\; a\_n\backslash cdot2^0$

מעבר ממספרים עשרוניים למספרים בינאריים

---

המעבר מהמספר העשרוני למספר הבינארי יתבצע באמצעות הרכבה של המספר העשרוני על ידי חזקות בעלות בסיס 2 וסידורם בסדר כרונולוגי. מהלך המעבר בין מספר עשרוני למספר בינארי: ניקח כדוגמה את המספר 73. לכתחילה נמצא את החזקה על בסיס 2 הקרובה הקטנה ביותר למספר. החזקה הקטנה ביותר המתאימה היא: $\backslash !\backslash ,\; 2^6=64$ כדי להגיע למספר 73 נצטרך להוסיף עוד חזקות בעלות בסיס 2. נבדוק אם $\backslash !\backslash ,\; 2^5$ יתאים לנו:

$\backslash !\backslash ,\; 2^6\; +\; 2^5\; =\; 64\; +\; 32\; =\; 96\; >\; 73$

קיבלנו מספר גדול מהמספר 73. לכן יש לחפש חזקה קטנה יותר.נבדוק אם $\backslash !\backslash ,\; 2^4$ יתאים לנו:

$\backslash !\backslash ,\; 2^6\; +\; 2^4\; =\; 64\; +\; 16\; =\; 80\; >\; 73$

קיבלנו מספר גדול מהמספר 73. לכן יש לחפש חזקה קטנה יותר.נבדוק אם $\backslash !\backslash ,\; 2^3$ יתאים לנו:

המספר 72 קטן מהמספר 73, לכן החזקה $\backslash !\backslash ,\; 2^3$ מתאימה לנו. כדי להגיע מ-72 ל-73 נצטרך להוסיף עוד מספר. ברור כי $\backslash !\backslash ,\; 2^2$ ו- $\backslash !\backslash ,\; 2^1$ לא יתאימו לנו, אבל $\backslash !\backslash ,\; 2^0=1$ יתאים לנו. ולכן פירוק המספר 73 לחזקות בעלות בסיס 2 הוא: $\backslash !\backslash ,\; 73\; =\; 2^6\; +\; 2^3\; +\; 2^0$
כדי להגיע למספר הבינארי המתאים, נוסיף את החזקות החסרות בין החזקות הללו:

$\backslash !\backslash ,\; 73\; =\; 1\backslash cdot2^6\; +\; 0\backslash cdot2^5\; +\; 0\backslash cdot2^4\; +\; 1\backslash cdot2^3\; +0\backslash cdot2^2\; +0\backslash cdot2^1+\; 1\backslash cdot2^0$

כלומר, חזקות שהשתמשנו בהם, הוכפלו ב-1 וחזקות שלא השתמשנו בהם, הוכפלו ב-0. המספר הבינארי שלנו מורכב מהמקדמים של מספרי החזקות. מכאן ש-73 בספירה בינארית הוא: $\backslash !\backslash ,\; 1001001$

שיטה נוספת למעבר ממספרים עשרוניים למספרים בינאריים

---

שיטה נוספת, וקלה יותר,להמרת מספרים מבסיס עשרוני לבסיס בינארי מתבצעת על ידי חלוקה חוזרת של המספר העשרוני ב-2 ובדיקת השארית.

נדגים את השיטה:
כדי להמיר את המספר העשרוני 73 לבסיס בינארי נחלק אותו ב-2.
התוצאה תהיה 36 ושארית של 1 (שהרי 36x2 + 1 = 73).
משמעות השארית 1 היא שבבסיס בינארי הספרה הימנית ביותר היא 1.
נמשיך ונחלק את התוצאה 36 ב-2.
קיבלנו 18 ושארית 0. לכן, עד כה ההמרה הבינארית שלנו היא 01.
נמשיך ונחלק את התוצאה 18 ב-2.
קיבלנו 9 ושארית 0. לכן, עד כה ההמרה הבינארית שלנו היא 001.
נמשיך ונחלק את התוצאה 9 ב-2.
קיבלנו 4 ושארית 1. לכן, עד כה ההמרה הבינארית שלנו היא 1001.
נמשיך ונחלק את התוצאה 4 ב-2.
קיבלנו 2 ושארית 0. לכן, עד כה ההמרה הבינארית שלנו היא 01001.
נמשיך ונחלק את התוצאה 2 ב-2.
קיבלנו 1 ושארית 0. לכן, עד כה ההמרה הבינארית שלנו היא 001001.
נמשיך ונחלק את התוצאה 1 ב-2.
קיבלנו 0 ושארית 1. לכן, עד כה ההמרה הבינארית שלנו היא 1001001.

למעשה, כעת ניתן להמשיך ולחלק את 0 ב-2 אינספור פעמים אך התוצאה תמיד תשאר אפס ושארית אפס.
ולכן זהו המספר הסופי בבסיס בינארי: 1001001

(אם נמשיך את החלוקה ב-2 נקבל מספר מהצורה 000001001001..., השווה למספר המצומצם 1001001.)

נסו לשים לב לחוקיות:

טבלת המרה בין בסיסי מספרים נפוצים

---

ראו גם

---

• מונחים בתוכנה
• סיבית
• בסיס אוקטלי
• בסיס הקסדצימלי

קישורים חיצוניים

---

• ייצוג מספרים בינאריים

שיטות ספירה | Binary numeral system | Binärsystem | Duuma sistemo | sistema binario | Bitarra | 2進数 | Binair | Binærtall | Dwójkowy system liczbowy