אנרגיה קינטית

אנרגיה קינטית היא אנרגיה שיש לגוף נע. לאנרגיה זו חשיבות רבה ביותר בפיזיקה - זוהי אחת מצורות האנרגיה העיקריות בכל מערכת דינמית בטבע, החל מרמות האנרגיה באטום, דרך האצת כלי רכב ועד לתנועת הכוכבים.

הגדרה

אנרגיה קינטית מוגדרת כעבודה שיש להשקיע כדי לגרום לגוף במנוחה (כלומר, שמהירותו אפס) להגיע למהירות מסוימת. בהתאם, יש לחשב (על ידי סכימה) את העבודה שעושה

\ \mathbf{F}

, הכוח המופעל, לאורך ההעתק

\ x

. אנרגיה זו ניתנת לחישוב גם באמצעות אינטגרל על המכפלה הסקלרית של וקטור המהירות והשינוי בתנע:

E_k =\int \mathbf{F} \cdot \,dx =\int \mathbf{v} \cdot \mathrm{d}\mathbf{p}

הגדרה זו היא כללית מאוד וקשה לבצע באמצעותה חישובים מעשיים. לכן נוח להשתמש בתוצאות שלה בשני מקרים פרטיים שהם מקרי גבול חשובים: המכניקה הקלאסית והמכניקה היחסותית.

במכניקה קלאסית

האנרגיה הקינטית של חלקיק נקודתי בעל מסה $\ m$ שנע במהירות $\ v$ תהיה

\ E_k = {1 \over 2} m v^2

הוכחה:

\ W = \int \mathbf{F} \cdot  \,dx = \int ma \cdot \,dx = m \int \frac{dv}{dt}\cdot  \,dx =

m \int v \cdot \,dv = {1 \over 2} m v^2 . חישוב זה מתבצע תוך החלפות משתנים לפי ההגדרות

\mathbf{F} = ma

\ a = \frac{dv}{dt}

ו-

\ v = \frac{dx}{dt}

, ובהנחה שהכח פועל בכיוון המהירות. כאן

\ a

היא התאוצה.

עבור גוף לא נקודתי יש להתחשב הן בתנועת מרכז המסה של הגוף, והן בסיבוב הגוף סביב עצמו. במקרה זה מתחלקת האנרגיה הקינטית לאנרגיה קינטית קווית שנשארת כמקודם $\ E_t = {1 \over 2} m v^2$ (כאן $\ v$ היא מהירות מרכז המסה), ולאנרגיה קינטית זוויתית שמתייחסת לסיבוב הגוף סביב עצמו ונוסחתה $E_r = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} I \omega^2$ (כאן $\ I$ הוא מומנט ההתמד ו- $\ \omega$ היא המהירות הזוויתית של הגוף).

סך האנרגיה הקינטית שווה ל- $\ E_k = E_t + E_r$

במכניקה יחסותית

במכניקה יחסותית נוח יותר לבצע חישובים תוך שימוש בפקטור לורנץ, $\,\gamma$ (גמא) ולא במהירות הגוף עצמה. פקטור זה נתון על ידי $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}$ . האנרגיה הקינטית של גוף שמסת המנוחה שלו היא $\ m_o$ היא:

E_k = m_o c^2 (\gamma - 1) = \gamma m_o c^2 - m_o c^2 \;\!

(כאן

\ c

היא מהירות האור בריק).

כלומר:

E_k = \left( \frac{1}{\sqrt{1- v^2/c^2 }} - 1 \right) m_o c^2

עבור מהירויות קטנות בהרבה ממהירות האור, ביטוי זה נותן בקירוב מצוין את הביטוי הניוטוני של האנרגיה הקינטית. אפשר לראות זאת על ידי פיתוח בסדר ראשון בטור טיילור עבור $\left(v/c\right)^2$ (או בסדר שני עבור $\left(v/c\right)$ ).

אנרגיה

Gourt Home::Gourt :: אנרגיה קינטית

הגדרה

במכניקה קלאסית

במכניקה יחסותית