אינטרפולציה

אינטרפולציה היא שם כולל לשיטה בתחום האנליזה הנומרית. הרעיון המרכזי העומד מאחורי גישה זו הוא האפשרות לייצר מידע חדש מאוסף נתונים סופי. לדוגמה, נניח שבמסגרת ניסוי פיזיקלי נדגום מיקום של גוף במרחב בכל 5 שניות, כשהניסוי נמשך דקה. נקבל 12 נתונים: מיקומו של הגוף בזמן ההתחלה, מיקומו כעבור 5 שניות וכן הלאה. ברור כי אוסף מידע זה אינו מספק את כל המידע על התנהגות הגוף בכל נקודת זמן שהיא במהלך דקת הניסוי. בשלב זה נכנס כלי האינטרפולציה לפעולה.

בשימושים ההנדסיים, פיזיקליים וכד' - מטרת האינטרפולציה היא להתאים פונקציה שתקרב בצורה הטובה ביותר את התנהגותו האמיתית של אובייקט הניסוי (בדוגמה הקודמת - הגוף הנע).

הגדרה

בהינתן סדרה של

n

נקודות

x_k

הנקראות צמתים ו-

n

נקודות מתאימות

y_k

, אזי הפונקציה:

$f(x) : f(x_i) = y_i \quad \forall i=1 \ldots n$

נקראת אינטרפולציה של נקודות המידע $(x_i,y_i),i=1\ldots n$ .

דוגמה

Interpolation_Data.png נניח כי נתונות 6 נקודות המידע הבאות, המיצגות למשל תוצאות מדידה כלשהי:

$x$	$(f(x$
0	0
1	0.8415
2	0.9093
3	0.1411
4	0.7568-
5	0.9589-
6	0.2794-

נרצה לדעת מה ערך הפונקציה הנעלמת בנקודה $x=2.5$ - לשם כך נוכל להעזר באינטרפולציה.

כאן המקום להסביר, כי אינטרפולציה הוא שם למגוון רחב של כלים נומרים אשר מטרתם לאפשר קירוב של פונקציה שאינה ידועה, או לקרב על ידי עקום נקודות במישור או במרחב (או שילוב של שני האלמנטים הללו). לכל שיטת אינטרפולציה יש יתרונות וחסרונות, ולפני בחירת שיטה זו או אחרת יש להתיחס לכמה בחינות, כגון: מידת החלקות של הפונקציה המבוקשת, מספר נקודות המידע העומדות לרשותינו, מידת הדיוק הדרושה, כמות משאבי החישוב הנדרשים כדי לעמוד בדרישותינו, ועוד. לאחר שנענה על שאלות מסוג זה נוכל לבחור בשיטה לביצוע אינטרפולציה. בדרך כלל ננסה לדעת בנוגע לכל שיטת איטנרפולציה מהי מידת החלקות של הפונקציה המתקבלת מחד, ומאידך לחקור את ה"טעות" המתקבלת מחישוב ערכים חדשים על ידי הפונקציה המתקבלת מהאינטרפולציה.

אינטרפולציה לינארית

Interpolation_example_linear.png בשיטה זו, שהיא הפשוטה ביותר לחישוב, נחבר בקו ישר כל שתי נקודות מידע עוקבות. באופן כללי, בהינתן:

(x_a,y_a),(x_b,y_b)

שתי נקודות מידע עוקבות, אזי הפונ' הלינארית המחברת אותן היא:

$f(x) = \frac{x-x_b}{x_a-x_b} y_a - \frac{x-x_a}{x_a-x_b} y_b$

כעת נוכל לענות על השאלה מה ערכה של הפונ' בנק. $x=2.$ . נעשה זאת על ידי בחירת $x_a = 2, x_b = 3$ והצבת הערך המבוקש בפונ' המתקבלת.

ברור כי מחד גישה זו קלה לחישוב, אך מאידך תוצאתה אינה מדויקת ע"פ רוב.

אינטרפולציה באמצעות פולינום

אינטרפולציה באמצעות פולינום היא הכללה של האינטרפולציה הלינארית. בהינתן אוסף נקודות

(x_k,y_k),k=1\ldots n

קיים פולינום אחד ויחיד ממעלה

n-1

אשר עובר דרך כל נקודות המידע, וכל שנותר הוא לחשב אותו.

צורת לגראנז'

דרך אחת לחשב את הפולינום היא באמצעות השיטה שמכונה "הפולינום בצורת לגראנז'": עבור אוסף הנקודות, הפולינום בצורת לגרנאז' המתאים הוא:

$p(x) = \sum_{j=1}^{n} y_j \prod_{k=1;k \neq j}^{n} \frac{x-x_k}{x_j-x_k}$

קל לראות כי לכל $\ q \neq j$ מתקיים $\ P_j(x_q) = 0$ וכן: $\ P_j(x_j) = y_j$ . לכן ברור כי: $\forall k: P(x_k) = y_k$ , כלומר הפולינום שהוגדר בצורת לגראנז' אכן עובר דרך הנקודות הנתונות.

צורת ניוטון

דרך נוספת לחשב את הפולינום היא באמצעות צורת ניוטון. לשיטה זה יתרונות על פני השיטה הקודמת בכך שהיא דורשת פחות פעולות חישוב, וקל להוסיף לפולינום הקיים נקודות נוספות, בעוד שבשיטת לגראנז' יש לחשב הכול מחדש.

צורת ניוטון מחושבת כך:

$\ p(x) = \sum_{i=1}^{n}$ ^*\prod_{k=1}^{i-1}\left(x-x_k\right)

כאשר הביטוי ^* נקרא "הפרש מחולק", והוא מוגדר בצורה הרקורסיבית הבאה:

$\$ ^*=y_k

^*=\frac{^*-^*}{x_k-x_1}