Théorie des catégories

De l'aveu même de l'un de ses créateurs, Saunders MacLane, la théorie des catégories est un « abstract nonsense » (ce qui doit pouvoir se traduire par « abstraction délirante »).

Quoi qu'il en soit, la théorie des catégories n'a rien de délirant. Elle constitue un chapitre essentiel des mathématiques contemporaines.

Définition

Pour définir une catégorie (notons-la $\mathcal C$ ), on demande peu :

des objets ;
des flèches reliant ces objets ;
une loi de composition pour ces flèches, satisfaisant certaines propriétés.

Plus précisément, les objets d'une catégorie ne doivent vérifier aucune hypothèse. En revanche, les flèches doivent en vérifier quelques-unes, tout à fait raisonnables :

toute flèche a une origine et un but, qui sont des objets de la catégorie ;
les flèches d'un objet $A$ à un objet $B$ forment un ensemble, noté $Hom_{\mathcal C}(A,B)$ ;
étant données $f\in Hom_{\mathcal C}(A,B)$ et $g\in Hom_{\mathcal C}(B,C)$ deux flèches de la catégorie, on peut leur associer une troisième flèche, de $A$ dans $C$ , notée $g\circ f$ , appelée la composée ;
cette opération de composition est associative : la flèche obtenue en composant un nombre fini de flèches ne dépend pas de l'ordre dans lequel on a fait le calcul ;
tout $Hom_{\mathcal C}(A,A)$ contient une flèche particulière, appelée l'identité de $A$ , notée $I_A$ , telle que pour toute flèche de $A$ vers $A$ , la composition avec cette identité ne modifie pas la flèche (en particulier : cette identité est donc unique).

Lorsqu'une catégorie est courante, certains lui donnent comme nom l'abréviation du nom de ses objets, entre parenthèses pour signaler qu'il s'agit de leur catégorie ; nous suivrons ici cette convention.

Exemples

La catégorie $(Ens)$ , dont les objets sont les ensembles, et les flèches les applications, avec la composition usuelle des applications. En particulier, on voit que les objets d'une catégorie ne forment pas forcément un ensemble !
La catégorie $(Top)$ , dont les objets sont les espaces topologiques, et les flèches les applications continues, avec la composition usuelle.
La catégorie $(Met)$ , dont les objets sont les espaces métriques, et les flèches les applications uniformément continues, avec la composition usuelle.
La catégorie $(Mon)$ , dont les objets sont les monoïdes et les flèches les morphismes, avec la composition usuelle.
La catégorie $(Grp)$ , dont les objets sont les groupes et les flèches les morphismes, avec la composition usuelle.
La catégorie $(Ab)$ , dont les objets sont les groupes abéliens et les flèches les morphismes, avec la composition usuelle.
La catégorie $(ACU)$ , dont les objets sont les anneaux commutatifs unitaires et les flèches les morphismes, avec la composition usuelle.

Les exemples précédents ont une propriété en commun : les flèches sont toujours des applications, et les objets des ensembles (ce sont des catégories concrètes) ; cette propriété est très particulière. Voici des exemples de catégories sans cette propriété :

On se donne un monoïde $(M,*,e)$ , et on définit la catégorie $M$ ainsi :

objets : un seul ( peu importe lequel )
flèches : les éléments du monoïde, elles partent toute de l'unique objet pour y revenir ;
composition : donnée par la loi du monoïde (l'identité est donc la flèche associée à e).
- On se donne un ensemble $E$ muni d'une relation réflexive et transitive $R$ , et on définit la catégorie associée ainsi :

objets : les éléments de l'ensemble ;
flèches : pour tous objets $e$ et $f$ , il existe une flèche de $e$ vers $f$ si et seulement si $eRf$ (et pas de flèche sinon) ;
composition : la composée de deux flèches est la seule flèche qui réunit les deux extrémités (la relation est transitive !) ; l'identité est la seule flèche qui relie un objet à lui-même (la relation est réflexive !).

cet exemple est particulièrement intéressant dans le cas suivant : l'ensemble est l'ensemble des ouverts d'un espace topologique, et la relation est l'inclusion ; cela permet de définir les notions de préfaisceau et de faisceau, via les foncteurs.

Catégorie duale

À partir d'une catégorie

\mathcal C

, on peut définir une autre catégorie

\mathcal C^{op}

, dite opposée ou duale, en prenant les mêmes objets, mais en inversant le sens des flèches.

Plus précisément : $Hom_{\mathcal C^{op}}(A,B)=Hom_{\mathcal C}(B,A)$ , et la composition de deux flèches opposées est l'opposée de leur composition :

f^{op}\circ g^{op}=(g\circ f)^{op}

Il est clair que la catégorie duale de la catégorie duale est la catégorie de départ : $(\mathcal C^{op})^{op}=\mathcal C$ .

Cette opération de dualisation extrêmement simple permet néanmoins de symétriser la plupart des énoncés, ce qui est parfois douloureux pour les débutants...

Propriétés des flèches

Définitions

Une flèche $f:A\rightarrow B$ est dite un monomorphisme lorsqu'elle vérifie la propriété suivante : pour tout couple $g,h$ de flèches $E\rightarrow A$ (et donc aussi pour tout $E$ ), si $f\circ g=f\circ h$ , alors $g=h$ .

Une flèche $f:A\rightarrow B$ est dite un épimorphisme lorsqu'elle vérifie la propriété suivante : pour tout couple $g,h$ de flèches $B\rightarrow E$ (et donc aussi pour tout $E$ ), si $g\circ f=h\circ f$ , alors $g=h$ .

Les notions de monomorphisme et d'épimorphisme sont duales l'une de l'autre : une flèche est un monomorphisme si et seulement si elle est un épimorphisme dans la catégorie duale.

Une flèche $f:A\rightarrow B$ est dite un isomorphisme s'il existe une flèche $g:B\rightarrow A$ telle que $g\circ f=I_A$ et $f\circ g=I_B$ . Cette notion est autoduale.

Exemples

Dans la catégorie des ensembles, les monomorphismes sont les injections, les épimorphismes sont les surjections et les isomorphismes sont les bijections.
Un contre-exemple important en théorie des catégories : un morphisme peut à la fois être un monomorphisme et un épimorphisme, sans être pour autant un isomorphisme ; pour voir ce contre-exemple, il faut se placer dans la catégorie des anneaux commutatifs unitaires, et considérer la flèche (unique!) $\mathbb Z\rightarrow\mathbb Q$ : elle est un monomorphisme car provient d'une application injective, un épimorphisme par localisation, mais n'est clairement pas un isomorphisme!
On trouve aussi de tels épimorphisme-monomorphisme non-isomorphiques dans la catégories des espaces topologiques : toute injection y est un monomorphisme, toute surjection est un épimorphisme, les isomorphismes sont les homéomorphismes, mais il y a des fonctions continues à la fois injectives et surjectives qui ne sont pas des homéomorphismes : par exemple l'identité sur un ensemble muni de deux topologies différentes, l'une plus grossière que l'autre.

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