Nombre

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Un nombre est une quantité abstraite utilisée pour dénombrer et classer des objets ou pour mesurer une grandeur physique.
Les nombres doivent être distingués des chiffres, qui sont des (combinaisons de) symboles utilisés pour représenter les nombres. La notation des nombres comme une série de chiffres est développée dans l'article : système de numération.

La langue française, à la différence de beaucoup d’autres, utilise deux mots : nombre et numéro, pour désigner les notions voisines, mais distincte, que l'on nomme aussi respectivement cardinal et ordinal. Si le numéro désigne souvent un code représenté par des chiffres (numéro de téléphone, jeton de loto...), il suggère l'idée d'un emplacement particulier dans une suite ordonnée d'éléments (adresse dans une rue, en l'occurrence, les chiffres ne suffisent plus à exprimer le 3bis de la rue). Le nombre, quant à lui, induit plutôt l'idée de quantité, de population. Lorsqu'il n'est pas attaché à un objet (numéro) ou des objets (population), le nombre est une abstraction pure. Ainsi le numéro est représenté par des chiffres composant un nombre.

En 2006, la notation usuelle pour les nombres est l'utilisation des chiffres décimaux: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, écrits de gauche à droite quel que soit le sens d'écriture, en allant du poids fort (à gauche) vers le poids faible (à droite).

Mesure et comptage

La numération, outre le système de numération employé, connaît deux modes :

le mode quantitatif qui exprime une mesure en utilisant des adjectifs numéraux cardinaux : trois litres, 3 000 Hz, 0,5 Ω,
le mode ordinal qui attribue aux objets un numéro d'ordre : le premier, le deuxième, la seconde, la tierce... L'utilisation d'adjectifs numéraux cardinaux remplace alors parfois celle d'adjectifs ordinaux : page trois, l'an III du règne de Sédécias. Le nombre devient alors plutôt un numéro.

Quantification

La numération quantitative s'est fortement répandue avec la culture scientifique qui mesure son objet, qui en évalue la quantité par rapport à une unité arbitraire. Cette quantité peut être nulle (0 m) ou négative (-12 V). Le nombre de fois où l’unité peut être observé dans l’objet mesuré est entier ou fractionnaire (0,50 €).

La quantification, jointe à l’usage d’une notation positionnelle, facilite grandement la manipulation conceptuelle : les opérations (les quatre de bases : addition, soustraction, multiplication, division, et autres que la Mathématique élabore). De fait, c’est l’approche quantitative du réel, jointe à une mathématique utilisant un système arithmétique positionnel qui a permis l‘émergence de la physique.

Indexation

La numération ordinale est couramment utilisée pour le comptage d'objets distincts, unitaires : les livres sur une étagère, même si les adjectifs cardinaux sont utilisés dans le langage courant. Il s'agit alors d'une indéxation plutôt que d'une mesure. Je compte un, deux, trois, quatre, cinq livres sur l'étagère. Le troisième livre, c‘est-à-dire en troisième position, porte l'index trois. Le nombre de livres, 5, correspond à l'index le plus grand. L'indexation commence à 1. Il n'y a pas d'objet 0.

Dans l‘exemple ci-dessus, il n’y a pas d'unité arbitraire, de livre de référence : un gros dictionnaire vaut un livre tout comme un simple feuillet. L’utilisation d’une quantification (pesage, mesure à la règle...) ne permet pas d’obtenir le nombre de livres sur l’étagère si ceux-ci ne sont pas homogènes. On ne cherche pas une quantité de livres ( 5 mètres linéaires d’étagère) mais un nombre de livres.

Observations

Quelques effets de l'existence de deux modes de numérotation peuvent être signalés.

En musique, la tierce est un intervalle de deux tons. Héritée de la culture antique, la numération n'est pas quantitative mais ordinale. On ne compte pas la quantité d'intervalles mais la note sur laquelle aboutit l'intervalle : la troisième puisque celle de départ porte l'index 1 (Do = 1 ; Ré = 2 ; Mi = 3 ). Il y a une disjonction entre le rang d'une note d'arrivée (comptage de tons) et l'écart (mesure de tons).
L’an 1 appartient au . Il n’y a pas d'an 0 puisque la numérotation des ans est un comptage. Le siècle ayant 100 années, l'an 100 appartient au même siècle. C'est l'an 101 qui commence le deuxième siècle. Ainsi, le vingtième siècle comprenait les années de 1901 à 2000 et le les années allant de 1001 à 2000. Il semble cependant que le développement de la quantification ait fait commencer le et ses festivités un an plus tôt.
La syntaxe de certains langages informatiques fait commencer à 0 l'indexation de tableaux $var$var ^*. Si i est l'index le plus grand des éléments de la variable $var, celle-ci comprend alors i+1 éléments. L'informatique a ainsi réintroduit une disjonction entre les numérations ordinale et cardinale que la science faisait disparaître.

Types de nombres

Il existe différents types de nombres. Les nombres les plus familiers sont les nombres entiers naturels {0, 1, 2, 3, ...} notés par

\mathbb{N}\,

, utilisés pour le dénombrement.
Si les entiers négatifs sont inclus, on obtient l'ensemble des nombres entiers relatifs

\mathbb{Z}\,

. Les rapports d'entiers réalisés par la division sont appelés nombres rationnels ou fractions; l'ensemble de tous les nombres rationnels est noté

\mathbb{Q}\,

, formé des ensembles de nombres à développement décimal fini (les nombres décimaux) et les nombres à développement périodique.

Si , dans l'ensemble, outre les éléments de $\mathbb{Q}\,$ , on inclut tous les développements décimaux infinis et non périodiques , on obtient l'ensemble des nombres réels, noté $\mathbb{R}\,$ . Ces nombres réels qui ne sont pas rationnels sont appelés nombres irrationnels. Cet ensemble est la réunion de l'ensemble des nombres algébriques (les racines de polynômes à coefficients rationnels) et de l'ensemble des nombres transcendants.

Les nombres réels peuvent être étendus aux nombres complexes, dont l'ensemble est noté $\mathbb{C}\,$ , qui est un corps algébriquement clos dans lequel chaque polynôme à coefficients complexes peut être complètement factorisé. Ainsi :

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

Les nombres complexes peuvent, à leur tour, être étendus aux quaternions, mais la multiplication des quaternions n'est plus commutative.

Les octonions, à leur tour, étendent les quaternions, mais cette fois, l'associativité est perdue. Les sédénions étendent à leur tour l'ensemble des octonions.

En fait, les seules algèbres de division associatives à dimension finie sur $\mathbb{R}\,$ , sont les nombres réels, les nombres complexes, et les quaternions.

Les éléments des corps de fonction algébriques de caractéristique finie ont été souvent interprétés de plusieurs manières comme une sorte de nombres par les théoriciens des nombres.

Ils sont historiquement apparus dans cet ordre :

Les entiers naturels,
Les nombres rationnels positifs,
L'invention du zéro,
Les entiers relatifs,
Les nombres rationnels,
Les nombres irrationnels et les nombres réels,
Les nombres complexes,
Les nombres hypercomplexes,
Les nombres p-adiques,
Les nombres réels transcendants et les nombres réels algébriques,
Les nombres transfinis, constitués des ordinaux et cardinaux
Les nombres hyperréels,
Les nombres réels calculables,
Les nombres surréels et pseudo-réels.

Ce n'est pas fortuit : on passe de la façon la plus simple de mesurer à des techniques beaucoup plus élaborées.

La compréhension des limites des nombres rationnels et de la nécessité des nombres irrationnels fut particulièrement douloureuse pour les pythagoriciens ; on dit même que cela scella la fin de cette École.

Les nombres complexes se sont imposés dans un premier temps comme un argument spécieux mais efficace pour résoudre les équations polynomiales (d'où le vocable d'« imaginaire » pour désigner certains d'entre eux), avant de finalement être reconnus comme des nombres tout à fait convenables.

Les nombres hypercomplexes furent inventés par Hamilton (quaternions) puis par Cayley (octonions) et les sédénions par la construction de Cayley-Dickson. À chaque composante d'un nombre hypercomplexe, on peut associer une base à plusieurs dimensions (4 pour les quaternions, 8 pour les octonions et 16 pour les sédénions). Il existe aussi les biquaternions.

L'apparition des nombres p-adiques est liée à la notion de valeur absolue, et sont très utilisés en théorie des nombres ; ces nombres sont cependant assez méconnus au sein même de la communauté mathématique…

Les nombres hyperréels furent conçus pour résoudre certains problèmes de l'analyse et leur création par Abraham Robinson permit le développement de l'analyse non-standard.

Les nombres pseudo-réels sont très semblables à l'ensemble plus vaste des hyper-réels, mais la construction est différente.

Les opérations arithmétiques sur les nombres, telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division sont généralisées dans la branche des mathématiques appelée algèbre abstraite dans laquelle on obtient les groupes, les anneaux et les corps.

Références

John H. Conway, Richard K. Guy, « Le Livre des Nombres », Paris, éditions Eyrolles, 1998, ISBN 2-212-03638-8
nombre

Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, Editions Robert Laffont, collection "Bouquins"

Liens externes

chiffre, nombre et numéro en français

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