En mathématiques, un morphisme est une application entre deux ensembles munis d'une même espèce de structure algébrique, qui respecte cette structure.

Synonyme : homomorphisme, à ne pas confondre avec homéomorphisme.

Cette notion est un des concepts de base de la théorie des catégories, où on lui donne une définition formelle bien plus large. Ainsi, un morphisme n'est pas forcément une fonction, c'est juste une flèche reliant deux objets qui ne sont pas forcément des ensembles.

Les morphismes peuvent être classifiés:

• un endomorphisme est un morphisme d'une structure dans elle-même ;
• un isomorphisme est un morphisme $f$ entre deux ensembles munis de la même espèce de structure, tel qu'il existe un morphisme $f\text{'}$ dans le sens inverse, tels que $f\backslash circ\; f\text{'}$ et $f\text{'}\backslash circ\; f$ sont les identités des structures ;
• un automorphisme est un isomorphisme d'une structure dans elle-même ;
• un épimorphisme (ou morphisme épique) est un morphisme $f\; :\; A\backslash to\; B$ tel que : pour tout couple $g,h$ de morphismes de type $B\backslash to\; E$ (et donc aussi pour tout $E$), si $g\backslash circ\; f=h\backslash circ\; f$, alors $g\; =\; h$ ;
• un monomorphisme (ou morphisme monique) est un morphisme $f\; :\; A\backslash to\; B$ tel que : pour tout couple $g,h$ de morphismes de type $E\backslash to\; A$ (et donc aussi pour tout $E$), si $f\backslash circ\; g=f\backslash circ\; h$, alors $g\; =\; h$.

Exemple: l'identité d'un ensemble est toujours un morphisme, quelle que soit la structure considérée. Et c'est un automorphisme…

Histoire

---

Pour l'histoire, ces noms ont été choisis à l'époque des "femmes savantes" qui assistaient aux conférences sur les mathématiques. Les noms ont donc été choisis, car les hommes-machos de l'époque voulait faire fuir les femmes avec des noms gênants tel que morphisme et ses dérivés.

Cas des groupes

---

Si on est dans le cas de deux groupes, cette définition se précise de la façon suivante: un morphisme $f$ entre $(G,*)$ et $(G\text{'},*\text{'})$, vérifie donc:

• $\backslash forall\; g,h\backslash in\; G,\; f(g*h)=f(g)*\text{'}f(h)$

voir article détaillé: homomorphisme de groupe

Cas des anneaux

---

Dans le cas de deux anneaux $\backslash left(A,+,*,0\_A\backslash right)$ et $\backslash left(A\text{'},+\text{'},*\text{'},0\_\{A\text{'}\}\backslash right)$, un morphisme $f$ vérifie donc:

• $\backslash forall\; a,b\backslash in\; A,\; f(a+b)=f(a)+\text{'}f(b)$
• $\backslash forall\; a,b\backslash in\; A,\; f(a*b)=f(a)*\text{'}f(b)$

si les anneaux considérés sont de plus unitaires, on parle de morphisme unitaire lorsque

$f\backslash left(1\_A\backslash right)=1\_\{A\text{'}\}$.

Il faut noter qu'un morphisme d'anneaux entre anneaux unitaires n'est pas forcément unitaire, comme le montre l'exemple suivant: si on choisit un ensemble $E$ infini, et une sous-partie $F$ de $E$ finie et que l'on munit les ensembles des parties de ces ensembles de la structure d'anneau où la somme est l'union disjointe et le produit est l'intersection, il est clair que l'inclusion des parties de $F$ dans les parties de $E$ est un morphisme d'anneau, mais n'est pas un morphisme d'anneau unitaire... En effet, c'est l'ensemble $E$ tout entier qui est élément neutre pour l'intersection dans l'ensemble des parties de $E$, mais l'élément neutre des parties de $F$ est $F$… donc son image par l'inclusion n'est pas l'élément neutre de l'anneau d'arrivée !

Cas des espaces vectoriels

---

Dans le cas de deux $\backslash mathbb\; K$-espaces vectoriels $(E,+,.)$ et $(F,+\text{'},.)$ , un morphisme vérifie :

• $f$ est un morphisme de groupe pour $(E,+)$ et $(F,+\text{'})$
• $\backslash forall\; x\backslash in\; E\; ,\; \backslash forall\; \backslash lambda\backslash in\backslash mathbb\{K\},\; f(\backslash lambda\; .\; x\; )\; =\; \backslash lambda\; .\; f(x)$

Ce qui est équivalent à :

$\backslash forall\; (x,y)\backslash in\; E\; \backslash times\; E\; ,\; \backslash forall\; \backslash lambda\; \backslash in\backslash mathbb\{K\},\; f(\backslash lambda\; .\; x\; +\; y)\; =\; \backslash lambda\; .\; f(x)\; +\; f(y)$

Autrement dit, un morphisme d'espaces vectoriels n'est rien d'autre qu'une application linéaire.

Cas des ensembles ordonnés

---

Un morphisme entre deux ensembles ordonnés est une application croissante (une application qui préserve l'ordre) :

Si ( A, ⊑ ) et ( B, ≼ ) sont des ensembles ordonnés et f est une fonction de A dans B, f est un morphisme si pour tout x et y dans A tels que x ⊑ y, on a f(x) ≼ f(y).

En théorie des ordres, on dit souvent fonction monotone au lieu de fonction croissante.

Ensembles isomorphes

---

On dit que les ensembles $E$ et $F$ sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de $E$ sur $F$.

Savoir que deux ensembles sont isomorphes présente un grand intérêt car cela permet de transposer des résultats et propriétés démontrées de l'un à l'autre.

Exemple : le groupe de Klein est isomorphe à $\backslash mathbb\; Z/2\backslash mathbb\; Z\backslash times\; \backslash mathbb\; Z/2\backslash mathbb\; Z$.

Applications pratiques

---

L'étude des morphismes a des applications particulièrement importantes dans la Physique moderne, en particulier la Mécanique quantique.

Voir aussi

---

• Homéomorphisme : isomorphisme d'espace topologique, i.e. application continue et d'inverse continue
• Difféomorphisme : isomorphisme de variété différentielle , i.e. application à différentielle continue et d'inverse à différentielle continue

Algèbre générale | Théorie des catégories

Morphismus | Morphism | Morfismo | Morfismo | 射 (圏論) | Morfism | 态射