Le terme mathématique vient du grec μάθημα mathêma, science, connaissance, apprentissage et de μαθηματικός mathematikos : qui aime apprendre. Les « mathématiques » sont communément considérées comme la science des nombres, des figures et des structures.

Un résultat mathématique, appelé théorème, est considéré comme tel lorsque le discours qui est censé convaincre de sa vérité suit une certaine structure appelée démonstration, ou raisonnement déductif. Cette démonstration suit les lois de la logique.

Les mathématiques sont traditionnellement vues comme un modèle de connaissance humaine, dont les résultats sont considérés comme objectifs, universels et éternels. Son statut de « reine des sciences » provient des faits suivants :

• son indépendance du réel due à sa nature purement intellectuelle
• les postulats, appelés axiomes, ne sont pas soumis à l'expérience
• la logique est largement admise comme mode de communication universel
• son efficacité dans les autres sciences, en particulier en physique.

Les différentes branches des mathématiques

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On distingue actuellement trois grands thèmes interconnectés en mathématiques :

• l'algèbre (exemples : théorie des nombres, mathématiques discrètes, structures algébriques)
• la géométrie (exemples : topologie, géométrie riemanienne)
• l'analyse (exemples : équations différentielles, probabilités)

La distinction entre algèbre, analyse et géométrie est réelle, tant dans les résultats, les méthodes, que dans la façon dont se perçoivent les mathématiciens. Il reste que les connexions entre ces trois branches et les usages que chacune fait de l'autre sont souvent plus que profondes et fondamentales. La théorie des nombres, en particulier la réflexion sur les nombres premiers est exemplaire à cet égard : à l'origine problème de nombres entiers, il s'est transformé au XIXème siècle en un problème où l'analyse est devenue indispensable. Avec le XXème siècle, la géométrie algébrique est devenue le terreau naturel regroupant à la fois méthodes algébriques, géométriques et analytiques pour affronter les problèmes de la théorie des nombres, par exemple la conjecture de Fermat, devenue grâce à cette nouvelle approche théorème de Wiles en 1994. Le théorème, a priori formulé dans des termes totalement algébriques, nécessite un usage colossal des mathématiques liées à l'analyse comme à la géométrie.

Théorème de Wiles : pour tout $n\; >\; 2$, et tous x, y et z entiers naturels, l'équation $x^n\; +y^n\; =\; z^n$ n'a pas de solution entière non évidente.

L'algèbre

L'algèbre est la partie des mathématiques qui étudie les structures algébriques des objets dont elle s'occupe. On peut distinguer des sous-disciplines :

• Algèbre homologique (très utile en géométrie)
• Théorie des représentations (fondamentale en théorie quantique des champs)
• Théorie des groupes
• Géométrie algébrique (inclut la théorie des nombres)

Outre son développement intrinsèque, elle est nécessaire à la géométrie et parfois à l'analyse pour progresser. Son intérêt pour ces dernières vient de ce que des structures abstraites se retrouvent dans de nombreux domaines.

Par exemple, les théorèmes de l'algèbre linéaire, démontrés de façon indépendantes de ses applications, permet de comprendre en profondeur des champs a priori très éloignés et dont on peut montrer qu'ils possèdent une structure linéaire. On sait grâce à elle que les équations différentielles linéaires en une variable d'ordre $n$, c'est à dire nécessitant de dériver $n$ fois la fonctions, ont exactement $n$ solutions indépendantes, donc de comportement différent. Par ailleurs, en analyse, différencier une fonction consiste à rendre linéaire la situation localement. Les outils de l'algèbre linéaire deviennent alors indispensables, par exemple pour savoir si un point critique, qu'on peut détecter analytiquement, est un minimum, un maximum, ou un point col. La topologie est grande consommatrice d'algèbre. Les invariants topologiques des objets algébriques déduits des figures, de sorte que deux figures semblables sous un certain point de vue géométrique sont ont des invariants isomorphes au sens algébrique. Par exemple, le groupe fondamental $\backslash pi\_1(X)$ d'une variété topologique $X$ code les chemins fermés tracés sur la variété à déformation près, et possède la structure algébrique d'un groupe. Sur la sphère de dimension 2, ce groupe est nul, car tout lacet peut se déformer en un point, ce qui est faux sur une chambre à air, ou tore. Un gros tore ou un petit tore tarabiscoté auront par ailleurs le même groupe fondamental, parce qu'on peut passer de l'un à l'autre par une déformation continue.

L'analyse

L'analyse est la partie des mathématiques fondée originellement sur nombres réels, et s'oppose en cela, mais seulement a priori, à la théorie des nombres, qui est la science des nombres entiers. Fondamentalement, elle débute avec Leibniz et Newton, inventeurs de la notion de dérivée et corrélativement de l'intégration.

On peut distinguer (liste non exhausitive) plusieurs domaines inclus dans l'analyse :

• Les équations différentielles. Ce sont des équations liant une fonction et ses dérivées successives, et leur étude cherche à trouver s'il existe des solutions, si elles sont uniques, et leur comportement qualitatif ou quantitatif aux bords de leur domaine de définition (exemple : quand le temps tend vers l'infini).
• Les probabilités : elles modélisent les aléas du hasard. A l'origine associées aux mathématiques discrètes (dés lancés, cartes à tirer), elles ont rapidement été intégrées dans une axiomatique beaucoup plus générale incluse dans le champ de l'analyse : le calcul de la probabilité d'un événement revient au calcul de l'intégrale d'une certaine fonction liée à la nature du modèle (une fonction gaussienne si on mesure la taille d'une personne prise au hasard), sur un certain domaine (une fourchette de taille dans cet exemple).
• La théorie des opérateurs : c'est en fait la théorie des opérateurs différentiels, c'est à dire des applications $D$ envoyant une fonction $f$ sur une autre fonction $D(f)$, telle que cette dernière dépende de $f$ et de ses dérivées, éventuellement d'ordre supérieur à un. En cela, elle contient formellement la théorie des équations différentielles. L'objet général de ce champ de recherche est le problème suivant : si $D$ est un opérateur et $g$ une fonction possédant un certaine régularité (continue, dérivable, lisse ou analytique par exemple), existe-t-il une fonction $f$ vérifiant l'équation $D(f)\; =\; g$. Si oui, $f$ hérite-t-elle de la régularité de $g$ ? Un exemple d'opérateur est le laplacien $\backslash Delta\; =\backslash sum\_i\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x\_i^2\}$, fondamentale entre autres en analyse harmonique, en géométrie riemannienne et électromagnétisme.
• La théorie des systèmes dynamiques.
• La théorie des singularités est à cheval entre géométrie et analyse. Une singularité est un point où certaines des dérivées d'une fonction s'annulent. Par exemple, sur une courbe plane les endroits où le trait admet un pincement correspond à une singularité d'une fonction paramétrant la courbe. Le problème est de savoir quels sont les différentes formes de singularités, c'est-à-dire de les classifier.

L'analyse ne se limite cependant pas aux fonctions de nombres réels. Les problèmes précédents (notamment équations différentielles, théorie des singularités, systèmes dynamiques, et en particulier les fractales) sont depuis longtemps étudiés pour des fonctions de nombres complexes : les fonctions holomorphes ; et plus récemment pour des fonctions de nombres p-adiques.

La géométrie

L'objet de la géométrie est de comprendre la nature des figures dans un espace. "Espace" peut signifier notre espace eucilidien en trois dimensions, mais aussi tout espace vectoriel à n dimensions, ou encore toute variété topologique, ou même, dans le cas de la géométrie algébrique, des espaces encore plus abstraits fondés sur un corps autre que celui des réels ou des complexes. On distingue actuellement, par ordre croissant de rigidité des structures :

• la topologie étudie les figures du point de vue de leur forme générale, sans se préoccuper des notions de distance. Par exemple, d'un point de vue topologique, un ballon (sphère ronde) diffère d'une chambre à air (tore plat), mais pas de la surface d'un galet (sphère aplatie).
• la géométrie différentielle étudie les figures lisses, c'est à dire ne présentant pas de singularités ou d'angles. Cette propriété permet d'y mettre une métrique, et donc de profiter des résultats de la géométrie riemanienne, afin d'obtenir des conséquences topologiques par exemple.
• la géométrie riemannienne étudie les figures en tenant compte d'une métrique, c'est-à-dire d'une façon de mesurer les distances. Elle s'intéresse par exemple aux géodésiques, c'est-à-dire les plus courts chemins tracés dans un espace (par exemple les lignes droites dans notre espace tridimensionnel euclidien, les grands cercles sur une sphère).
• La géométrie symplectique s'occupe des espaces possédant une structure symplectique, et de leurs sous-espaces naturels, comme les sous-variétés lagrangiennes. Les questions sont alors : quels espaces possèdent une telle structure ?
• la géométrie algébrique étudie la nature et la classification des figures formées par le lieu d'annulation de polynômes dans un certain corps K. Quand K est le corps des réels, on parle de géométrie algébrique réelle, quand il est le corps des complexes, de géométrie algébrique complexe. Cette branche des mathématiques est naturellement liée à la théorie des nombres.

Mathématiques appliquées et mathématiques pures

La pertinence d'une distinction entre mathématiques pures, dans lesquelles les mathématiciens étudieraient des problèmes - qui peuvent être issus des mathématiques elle-mêmes, mais aussi provenir d'autres sciences, principalement la physique - pour eux-mêmes, et mathématiques appliquées, ou la mise en œuvre d'outils mathématiques se ferait dans la perspective, immédiate ou lointaine, de résolution de problèmes industriels et technologiques, est sujette à caution. Citons une boutade de Ian Stewart, mathématicien pur : « La différence entre mathématiciens purs et appliqués, c'est que les seconds pensent qu'il n'y a pas de différence, alors que les premiers savent très bien qu'il y en a une ».

Il faut toutefois noter que dans les faits en France, cette distinction structure souvent les équipes de recherche ; sans forcément hypothéquer la possibilité d'interactions entre elles.

Les mathématiques et les autres sciences

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Outil et langage

Les mathématiques servent de langage ou de support à de très nombreuses sciences, naturelles ou humaines, afin de quantifier certains phénomènes. Elles sont également utilisées pour prédire des formes et effectuer des prédictions qualitatives.

Le principe de la mathématisation est le suivant : une science donnée, ou une sous-thématique de la science (par exemple la biologie ou la thermodynamique) sélectionne certains paramètres qu'on suppose être quantifiable (le temps, le nombre de bactéries, la température, le portefeuille d'un actionnaire) qu'on a constaté être liés entre eux (la population bactérielle s'accroît avec le temps, la température est reliée à la pression). Une équation, très souvent différentielle, relie certains de ces paramètres entre eux, et établit ainsi de façon quantitative leur interdépendance. L'étude mathématique de ces équations va permettre, après retour aux êtres réels associés aux paramètres, de prédire, c'est-à-dire de constater de nouvelles relations entre les termes. En écologie par exemple, une équation peut modéliser le rapport entre une certaine espèce et une autre espèce prédatrice. L'étude mathématique de l'équation quand la variable temps tend vers l'infini va annoncer si le système écologique évoluera vers un système stable et équilibré, ou bien si l'une des espèce va disparaître par exemple.

Le cas particulier de la physique

Historiquement, physique et mathématiques sont profondément liées. L'astronomie, par exemple, a été un des moteurs principaux de l'émergence de la discipline mathématique. Par la suite, et jusqu'à la fin du XIXème siècle, les mathématiciens sont tout autant physiciens (et très souvent philosophes). On peut distinguer plusieurs rapports de natures différentes entre les deux sciences :

• une nouvelle théorie physique réclame un outil mathématique. Deux cas :
  • la théorie existe déjà (relativité générale et géométrie riemanienne)
  • la théorie doit être inventée (gravitation universelle et calcul différentiel)
• une nouvelle théorie mathématique encourage les physiciens à explorer plus loin leur théorie (polynômes de S.K. Donaldson et théorie de N. Seiberg et Edward Witten).
• une nouvelle théorie physique ouvre des perspectives mathématiques, parce que les mathématiques utilisées par les physiciens ne sont pas encore "démontrées" (typiquement les intégrales de Feynman) (théorie de Yang-Mills et polynômes de Donaldson).

On ne peut donc pas dire qu'il existe une préséance épistémologique d'une discipline sur l'autre. Explicitons quelques exemples montrant qu'une telle réduction est irréalisable :

• Le calcul différentiel a été indépendamment découvert par Leibniz et Newton. Chez le premier, l'état d'esprit qui a accompagné et présidé est essentiellement philosophique, et lié à sa réflexion sur les monades. Chez le second, c'est la mathématisation de ses réflexions sur la gravitation qui a été le moteur principal.
• Joseph Fourier découvre les séries qui portent son nom, maintenant fondamentales dans presque toutes les mathématiques, parce qu'il s'intéressait à la diffusion de la chaleur dans les corps.
• Quand Albert Einstein réfléchit à la relativité générale, il prend conscience que les mathématiques nécessaires étaient déjà présentes dans la géométrie riemannienne.
• Actuellement, les physiciens de la théorie des cordes bouleversent la géométrie complexe, en conjecturant de très nombreux résultats, jamais contredits par les mathématiciens, qu'ils obtiennent à l'aide d'outils mathématiques dont la validité est encore très loin d'être démontrée.
• Quand Heisenberg fonde la mécanique quantique, il réinvente la théorie des matrices, déjà bien développée en mathématiques.

Lien avec les autres sciences de la nature

• chimie : partiellement mathématisée.
• biologie : usage partiel des mathématiques
• sciences de la Terre : usage partiel

Lien avec les sciences humaines

Son rapport avec les sciences humaines se fait essentiellement par les statistiques et les probabilités, mais aussi par des équations différentielles, stochastiques ou non, en économie et en finance :

• sociologie
• psychologie
• économie, finance, gestion

Ce rapport est controversé, de par la nature humaine de ces sciences, et du refus par certains dans ce domaine du déterminisme auquel les mathématiques sont naturellement attachées.

L'habit mathématique ne fait pas la science

Mathématisation n'est pas synonyme d'authenticité scientifique. En effet, les postulats d'une "pensée" peuvent être extrêmement problématiques, voire farfelus, mais s'ils sont de nature à être quantifiés, ils peuvent donner lieu à des calculs complexes.

Le cas de l'astrologie est un cas modèle : ses postulats, qui considèrent que les planètes ont une influence sur le comportement humain, sont rejetés presque unanimement par la communauté scientifique. Pourtant, la pratique de l'astrologie peut donner lieu à de longs calculs mathématiques.

Beaucoup plus subtil est le cas de l'économie mathématique. Le postulat fondamental de cette discipline est que l'activité économique peut se comprendre à partir d'un axiome de nature anthropologique, celui de l'acteur individuel rationnel. Dans cette vision, chaque individu cherche par ses actions à accroître un certain profit, et ce de façon rationnelle. Cette sorte de vision atomiste de l'économie permet à celle-ci de mathématiser relativement aisément sa réflexion, puisque le calcul individuel se transpose en calcul mathématique. Toutefois, certains sociologues, comme P. Bourdieu, et même certains économistes, refusent ce postulat de l'homo œconomicus, en remarquant que les motivations des individus comprennent non seulement le don, mais aussi dépendent d'autres enjeux dont l'intérêt financier n'est qu'une partie, ou tout simplement ne sont pas rationnelles. La mathématisation est donc selon eux un habillage permettant une valorisation scientifique de la matière.

Dans un essai polémique, Alan Sokal et Jean Bricmont ont dénoncé l'utilisation non fondée ou abusive d'une terminologie scientifique, en particulier mathématique et physique, dans le domaine des sciences humaines.

Les mathématiques dans l'Histoire

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L’origine historique des mathématiques est liée à leurs applications concrètes, le commerce, la mesure des surfaces, la prédiction des événements astronomiques.

Initialement tournées vers la mesure (géométrie) et le comptage (arithmétique), les mathématiques se tournent rapidement vers l'abstraction. Les mathématiciens grecs avec Euclide et ses éléments leur apportent leurs premières structures axiomatiques, puis leur passage chez les mathématiciens de langue arabe permet la fusion avec les connaissances orientales et la création du système d'écriture numérique arabe.

Dans le courant du XVI et XVII siècle, c'est en Europe que se développe un nouvel aspect des mathématiques. La création d'un langage symbolique (François Viète et Descartes) permet le développement du calcul algébrique. Tandis que Newton et Leibniz, mettant en place le calcul infinitésimal, donnent les outils nécessaires aux développement de l'analyse.

Cependant, les mathématiques, pour se développer ont besoin de définir des structures : groupe (Évariste Galois), anneau (Richard Dedekind), corps , espace vectoriel, espace projectif ..... C'est le développement d'une nouvelle branche des mathématiques : celle des structures algébriques ou algèbre générale qui débouchera quelques siècles plus tard sur la théorie des catégories.

Le XIX siècle voit avec Hilbert et Cantor le développement d'une théorie axiomatique sur tous les objets étudiés, soit la recherche des fondements mathématiques. Ce développement de l'axiomatique conduira le XX siècle à chercher à définir toutes les mathématiques à l'aide d'un langage : la logique.

Au cours du XX siècle, le développement de l'outil informatique fait prendre un nouveau tournant aux mathématiques : celui de la modélisation et de la numérisation.

Au cours des deux mille ans écoulés, les mathématiques ont cherché, d'une part à fournir des outils exploitables pour les autres sciences (physique, géographie; astronomie...) d'autre part à résoudre des problèmes nés dans leur sein comme la quadrature du cercle, les nombres constructibles, la conjecture de Fermat, les propositions indécidables, les problèmes NP-complets...

Fondements, rigueur et logique

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Les fondements des mathématiques

Les théories des ensembles, développées initialement à la fin du XIXème siècle, sont des théories très générales qui donnent un cadre dans lequel des mathématiciens ont espéré pouvoir formuler et prouver toutes les connaissances mathématiques. Espoir en définitive voué à l'échec : voir logique mathématique. Citons un exemple de mathématiques qui sont d'un usage courant, et qui ne font pas l'objet d'une réduction à la théorie des ensembles : la théorie des catégories.

Logique et mathématiques

La logique énonce les règles, ou principes, qu’il faut respecter pour faire des déductions correctes.

Comme toute science exacte, la mathématique est donc fondée sur le principe du tiers exclu (ou axiome de véracité) : toute proposition (hors non-sens) est soit vraie soit fausse.

Une déduction consiste à partir de prémisses pour arriver à une conclusion en procédant par des étapes logiques. En mathématiques, l’étude de la forme du raisonnement, indépendamment de ses objets, a une importance cruciale. Montrons-le sur un exemple.

Les mêmes axiomes, ceux des espaces vectoriels, peuvent être utilisés à la fois pour étudier des espaces géométriques, l’espace euclidien par exemple et pour étudier l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire. Les théorèmes sur les espaces vectoriels sont donc valables à la fois pour la géométrie euclidienne et pour les équations différentielles linéaires. On peut considérer que la théorie abstraite des espaces vectoriels consiste à étudier toutes les déductions qui partent des mêmes axiomes, indépendamment des objets auxquels ils sont appliqués. On étudie alors les formes de déduction et non les objets auxquels ces formes sont appliquées.

Cette définition convient bien aux mathématiques appliquées. De nombreuses théories abstraites (les nombres entiers et réels, les fonctions réelles de variable(s) réelle(s) et les équations différentielles, les espaces vectoriels, les groupes, la théorie des probabilités, ...) ont une utilité générale pour toutes les sciences, parce qu’elles peuvent être appliquées à de nombreux objets. Le travail des mathématiques appliquées consiste à développer des théories, dont la valeur est universelle, en vue d’aider les autres sciences dans leurs recherches des conséquences.

Rigueur et pratique des mathématiques

En tant qu'activité humaine, pratiquée par des humains, les mathématiques s'éloignent toutefois du modèle d'une construction, suivant les lois de la logique, et indépendante du réel. Citons un fait et un phénomène pour illustrer ceci. Tout d'abord, aucune démonstration mathématique ne suit réellement, formellement, les lois de la logique, pour la simple raison que la traduction d'énoncés mathématiques complexes en langage purement formalisé est impossible en temps raisonnable. L'acceptation de la véracité d'une démonstration, et donc d'un théorème, repose donc in fine sur un consensus de spécialistes au sujet de la validité de l'approximation de démonstration formelle proposée (voir La structure des révolutions scientifiques). Ainsi la confiance que la communauté mathématique place dans un de ses membres qui propose un résultat nouveau intervient de façon primordiale dans la réception qu'aura ce résultat, et ce d'autant plus s'il est inattendu, ou modifie la façon de voir les choses. On peut prendre pour exemple historique les controverses sur les géométries non euclidiennes au XIXème siècle, durant lequel les travaux de Lobatchevsky ont été largement ignorés ; ou bien, dans un autre ordre d'idée, la non réception par Cauchy, ponte monarchiste, des travaux du jeune républicain Galois au début du même siècle. On pourrait multiplier de tels exemples avec toutes les variations souhaitées (place des femmes, nationalisme, népotisme...). Contentons-nous de dire que la sociologie des mathématiques étudie de tels phénomènes (voir sociologie des sciences).

Philosophies des mathématiques

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L'universalité manifeste des mathématiques et leur efficacité sont, au moins depuis l'antiquité grecque, la source de questions philosophiques et métaphysiques. L'Histoire des Idées est intimement liée à la réflexion sur la nature des mathématiques. On peut distinguer trois grandes questions :

• Quelle est le mode d'existence des objets mathématiques ? Sont-ils réels, le cas échéant de quelle réalité s'agit-il ? N'est-ce qu'une production de la pensée ?
• Pourquoi les mathématiques semblent-elles universelles ?
• Pourquoi les mathématiques, création de l'esprit, permettent-elles de comprendre un aspect de l'univers ?

Le platonisme

«Nul n'entre ici s'il n'est géomètre»", était gravé sur le portail de l'Ecole de Platon. Pour ce philosophe, les mathématiques sont un intermédiaire pour accéder au royaume des Idées.

L'aristotélisme

Concernant les mathématiques, Aristote est encore très empreint de platonisme. L'univers au-delà de la Lune, les étoiles et les planètes, peuvent être compris par les mathématiques, car ils sont ordonnés suivant des lois éternelles et parfaites. En revanche, pour Aristote le monde sublunaire est sujet au changement et au mouvement, et la physique ne peut en aucun cas prétendre aquérir la rigueur et l'universalité des mathématiques.

Le logicisme

Le logicisme considère que les mathématiques sont toutes entières incluses dans l'ensemble des connexions logiques élémentaires, théoriquement explicitables, qui composent une démonstration.

L'intuitionnisme

«La possibilité même de la science mathématique semble une contradiction insoluble. Si cette science n'est déductive qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute ? Si, au contraire, toutes les propositions qu'elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie ? Le syllogisme ne peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau et, si tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait aussi pouvoir s'y ramener. », Henri Poincaré, La Science et l'hypothèse

Le platonisme d'Albert Lautman

Pour Albert Lautman, le monde des idées mathématiques est le parangon du monde des Idées platoniciennes. Plus précisément, il considère que les relations entre les objets mathématiques mises en évidence dans les démonstrations sont des relations plus générales, métamathématiques. Dans ses ouvrages, Lautman montre que dans le déroulement d'une démonstration d'un théorème, des idées développées par des philosophes dans un tout autre contexte sont réalisées.

Le constructivisme

Les constructivistes n'admettent que les mathématiques construites. Plus techniquement, ils n'acceptent dans les démonstrations que les inférences finies. Par exemple, le raisonnement par récurrence ainsi que l'axiome du choix sont prohibés. Les démonstrations par l'absurde sont également interdites, puisqu'elles ne donnent l'existence de l'être mathématique que par l'impossibilité de son non-être, et non pas par l'explicitation concrète de son existence.

Le calculationnisme

Les calculationnistes sont ceux qui comme Stephen Wolfram identifient la nature au calcul. Pour eux, une pomme qui tombe est une instantiation du calcul de la mécanique.

Les arts et les mathématiques

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De natures très différentes, l'art et les mathématiques ont néanmoins toujours eu des relations fructueuses.

Harmonie et musique

Les symétries

On peut constater que l'on associe une certaine beauté aux figures symétriques. Une symétrie d'une figure géométrique est, intuitivement, l'existence d'un motif de la figure qui se répète suivant une règle précise, tout en étant partiellement transformé. Mathématiquement, une symétrie est l'existence d'une action non triviale d'un groupe, très souvent par isométrie, c'est à dire qui préserve les distances sur la figure. En d'autres termes, l'intuition de la règle est mathématiquement réalisée par le fait que c'est un groupe qui agit sur la figure, et le sentiment qu'une règle régit la symétrie est précisément dû à la structure algébrique de ce groupe.

Par exemple, le groupe lié à la symétrie miroir est l'ensemble $\backslash Z/2Z\; =\backslash \{-1,1\backslash \}$. Un test de Rorschach est une figure invariante par cette symétrie, de même qu'un papillon et plus généralement le corps des animaux, du moins en surface. Lorsqu'on dessine la surface de la mer, l'ensemble des vagues possède une symétrie par translation : bouger notre regard de la longueur séparant deux crêtes de vagues ne change pas la vue que l'on a de la mer. Un autre cas de symétrie, cette fois non isométrique, est celui présenté par les fractales : un certain motif se répète à toutes les échelles de vision.

Voir aussi

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• PARI/GP, un logiciel libre très utilisé en théorie des nombres.
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• LaTeX Logiciel libre de traitement de texte avec formules mathématiques
• Inkscape Logiciel libre de dessin vectoriel
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