En calcul stochastique, une martingale désigne un type de processus stochastique, c'est-à-dire un processus aléatoire et dynamique. Ce type de processus $X$ est tel que sa valeur espérée connaissant l'information disponible à une certaine date, dénotée $F\_s$, est la valeur à cette même date :

$E(X\_t|F\_s)\; =\; X\_s$

Notons que $X$ est un processus adapté à la filtration $F$.

On parlera de sous-martingale si $E(X\_t|F\_s)\; >\; X\_s$ et de sur-martingale si .

Définitions

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Processus stochastique

Un processus stochastique est une famille de variable aléatoire, généralement indexée par $\backslash mathbb\; R^+$ ou $\backslash mathbb\; N$.

Filtration

Une filtration est une suite croissante de tribu $(\backslash mathcal\{F\}\_n)\_\{n\backslash ge\; 0\}$, c'est-à-dire $\backslash mathcal\{F\}\_n\; \backslash subset\; \backslash mathcal\{F\}\_\{n+1\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash forall\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N$

Filtration naturelle

Soit $(X\_n)\_\{n\; \backslash ge\; 0\}$ une suite de variables aléatoires. On dit que $(\backslash mathcal\{F\}\_n)\_\{n\backslash ge\; 0\}$ définie par $\backslash mathcal\{F\}\_n\; =\; \backslash sigma\; (X\_1,\backslash ldots\; ,X\_n)\; \backslash \; \backslash forall\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N$ est la filtration naturelle de la suite $(X\_n)\_\{n\; \backslash ge\; 0\}$.

Processus adapté

On dit que le processus $(X\_n)\_\{n\; \backslash ge\; 0\}$ est adapté à la filtration $(\backslash mathcal\{F\}\_n)\_\{n\backslash ge\; 0\}$ si $X\_n$ est $\backslash mathcal\{F\}\_n\; -mesurable$ pour tout entier n.

Martingale

Soit $(\backslash mathcal\{F\}\_n)\_\{n\backslash ge\; 0\}$ une filtration.

Soit $(M\_n)\_\{n\; \backslash ge\; 0\}$ une suite de variables aléatoires.

On dit que $(M\_n)\_\{n\; \backslash ge\; 0\}$ est une martingale par rapport à $(\backslash mathcal\{F\}\_n)\_\{n\backslash ge\; 0\}$ si:

1. $(M\_n)\_\{n\; \backslash ge\; 0\}$ est adaptée à la filtration $(\backslash mathcal\{F\}\_n)\_\{n\backslash ge\; 0\}$.

1. $M\_n\; \backslash ,$ est intégrable pour tout entier n.

1. $E(M\_\{n+1\}\; |\; \backslash mathcal\{F\}\_n\; )\; =\; M\_n$.

Si $(M\_n)\_\{n\; \backslash ge\; 0\}$ respecte les deux premières conditions, et $E(M\_\{n+1\}\; |\; \backslash mathcal\{F\}\_n\; )\; \backslash ge\; M\_n\; \backslash \; \backslash forall\; n$ alors on l'appelle sous-martingale, et si $E(M\_\{n+1\}\; |\; \backslash mathcal\{F\}\_n\; )\; \backslash le\; M\_n\; \backslash \; \backslash forall\; n$, alors on l'appelle sur-martingale.

On dit que $(M\_n)\_\{n\; \backslash ge\; 0\}$ est une $\backslash mathcal\{F\}\_n$-martingale.

Processus prévisible

Soit $(\backslash mathcal\{F\}\_n)\_\{n\backslash ge\; 0\}$ une filtration.

Soit $(Y\_n)\_\{n\; \backslash ge\; 0\}$ une suite de variables aléatoires.

On dit que $(Y\_n)\_\{n\; \backslash ge\; 0\}$ est processus prévisible si $Y\_\{n+1\}\; \backslash ,$ est $\backslash mathcal\{F\}\_n$-mesurable et $Y\_0\; \backslash ,$ est $\backslash mathcal\{F\}\_0$-mesurable pour tout entier n.

Propriétés

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Propriété 1

Soit $(M\_n)\_\{n\; \backslash ge\; 0\}$ une martingale.

On a $E(M\_\{(n+1)\})=E(E(M\_\{n+1\}\; |\; \backslash mathcal\{F\}\_n))\; =\; E(M\_n)\; =\; \backslash ldots\; =\; E(M\_0)$

Autrement dit, la suite $(E(M\_n))\_\{n\; \backslash ge\; 0\}$ est constante.

Exemples de martingales

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exemple 1

Soit $X\; \backslash ,$ une variable aléatoire intégrable et $X\_n\; :=\; E(X\; |\backslash mathcal\{F\}\_n)$.

Alors $(X\_n)\_n\; \backslash ,$ est une $\backslash mathcal\{F\}\_n$-martingale.

exemple 2

Soit $(X\_k)\_k\; \backslash ,$ une suite de variables aléatoires indépendantes et centrées.

La suite $(S\_n)\_n\; \backslash ,$ définie par $S\_n\; :=\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; X\_k$ est une $\backslash mathcal\{F\}\_n$-martingale avec $\backslash mathcal\{F\}\_n\; =\; \backslash sigma\; (X\_0,\backslash ldots\; ,X\_n)$.

exemple 3

Soit $(X\_n)\_n$ une $\backslash mathcal\{F\}\_n$-martingale, soit $(Y\_n)\_n$ un processus borné prévisible par rapport à $(\backslash mathcal\{F\}\_n)\_n$.

Alors $(Z\_n)\_n\; \backslash ,$ définie par $Z\_n\; :=\; Y\_0\; X\_0\; +\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; Y\_k\; (X\_k\; -X\_\{k-1\})$ est une $\backslash mathcal\{F\}\_n$-martingale.

Les martingales et les temps d'arrêts

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Théorème 1

Soit $(M\_n)\_n\; \backslash ,$ une $\backslash mathcal\{F\}\_n$martingale et $T\; \backslash ,$ un temps d'arrêt .

Alors $(M\_\{n\backslash wedge\; T\})\_n\; \backslash ,$ est une martingale (appellé "martingale arrêtée").

Démonstration:

• $M\_\{n\backslash wedge\; T\}\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^\{n-1\}\; M\_j*1\_\{(T=j)\}\; +\; M\_n*1\_\{(T\; \backslash ge\; n)\}$.

sont $\backslash mathcal\{F\}\_n$-mesurable.

Donc $M\_\{n\backslash wedge\; T\}\; \backslash ,$ est $\backslash mathcal\{F\}\_n$-mesurable

• $|M\_\{n\backslash wedge\; T\}\; |\; \backslash le\; |M\_n|+|\backslash sum\_\{j=1\}^\{n-1\}\; M\_j|$ d'où $M\_\{n\backslash wedge\; T\}\backslash ,$ est intégrable.

• $E(M\_\{n+1\backslash wedge\; T\}\; |\backslash mathcal\{F\}\_n)=\; E(\backslash sum\_\{j=1\}^\{n-1+1\}\; M\_j*1\_\{(T=j)\}\; |\backslash mathcal\{F\}\_n)\; +\; E(M\_\{n+1\}*1\_\{(T\; \backslash ge\; n+1)\}\; |\; \backslash mathcal\{F\}\_n)$

Or $M\_j\; \backslash \; et\; \backslash \; 1\_\{(T=j)\}$ sont $\backslash mathcal\{F\}\_n$-mesurable $\backslash forall\; j\; \backslash le\; n$, de même pour $1\_\{(T\; \backslash ge\; n+1)\}$.

$E(M\_\{n+1\backslash wedge\; T\}\; |\backslash mathcal\{F\}\_n)=\; \backslash sum\_\{j=1\}^\{n\}\; M\_j*1\_\{(T=j)\}\; +\; 1\_\{(T\; \backslash ge\; n+1)\}*E(M\_\{n+1\}\; |\; \backslash mathcal\{F\}\_n)\; =\; \backslash sum\_\{j=1\}^\{n\}\; M\_j*1\_\{(T=j)\}\; +\; 1\_\{(T\; \backslash ge\; n+1)\}*M\_\{n\}\; =\; M\_\{n\backslash wedge\; T\}$

Corollaire

$E(M\_0)\; =\; E(M\_\{n\backslash wedge\; T\})$

Processus stochastique

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