Isomorphisme

Définitions

Algébriste

En algèbre, un isomorphisme est un morphisme qui admet un inverse qui est lui-même un morphisme.

Moralement, c'est une bijection pour laquelle les relations « algébriques » entre les éléments de l'ensemble d'arrivée sont les mêmes que celles entre leurs antécédents respectifs (la structure algébrique est préservée).

Cette notion n'est pas à proprement parler une notion mathématique. C'est soit une notion de la théorie des catégories, soit un « méta-concept » mathématique.

Catégorique

Plus généralement, dans la théorie des catégories un isomorphisme est un morphisme qui possède un inverse à gauche et un inverse à droite.

inverse à gauche : si f : A → B, alors il existe g : B → A tel que g ∘ f = Id_A
inverse à droite : si f : A → B, alors il existe g : B → A tel que f ∘ g = Id_B

Remarquons qu'avec une notation covariante telle que « ; » à la place de la notation contravariante « ∘ » pour la composition des morphismes, il faudrait inverser ces deux dernières définitions, ou alors préférer appeler ces inverses respectivement post-inverse et pré-inverse.

Attention, généralement, l'existence d'un inverse à gauche n'entraîne pas l'existence d'un inverse à droite, et réciproquement. C'est par exemple le cas dans la catégorie des ensembles.

Exemples

Si l'on se place dans la catégorie des espaces topologiques, un isomorphisme est une bijection continue d'inverse continue. C'est aussi ce qu'on appelle un homéomorphisme.

De la même façon, un isomorphisme entre variétés différentielles (par exemple, entre des ouverts de $\R^n$ ) n'est rien d'autre qu'un difféomorphisme. Plus précisément, si l'on considère une structure $\mathcal{C}^k$ sur une variété, alors on parle de $\mathcal{C}^k$ -difféomorphisme.

Propriétés

En particulier un isomorphisme est à la fois un épimorphisme et un monomorphisme, mais la réciproque est fausse en général : à savoir qu'il existe des morphismes à la fois épiques et moniques qui ne sont pas des isomorphismes. Pour plus de détails, voir : Propriétés des morphismes dans les catégories.

Objets isomorphes

Deux objets reliés par un isomorphisme sont dits isomorphes.

Selon bien des points de vues, deux objets isomorphes peuvent être considérés comme identiques. En effet, bien souvent, les propriétés intéressantes d'un objet seront partagées par tous les objets isomorphes de la catégorie. Ainsi on parle souvent d'unicité ou d'identité « à un isomorphisme près ».

Exemple

On dira souvent qu'il n'il y a qu'un seul ℝ-espace vectoriel de dimension n (« à un isomorphisme près »). Cela est vrai au sens où toutes les propriétés d'espace vectoriel (relatives à la catégorie des espaces vectoriels) démontrées sur ℝⁿ se vérifieront de la même manière, par exemple, sur ℝ_n-1(polynômes à coefficients réels de degré n - 1). En revanche, si l'on considère ℝ_n-1anneau (c’est-à-dire dans la catégorie des anneaux), cela n'a plus aucun sens. L'anneau ℝ_n-1[X" target="_blank" >^* a en effet de nombreuses propriétés en tant qu'anneau qu'on ne peut transposer à ℝⁿ qui n'en est pas un.

La moralité est que cette identification entre deux objets n'aura lieu que dans une catégorie bien précise, où il existe un isomorphisme entre ces deux objets.

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