En mathématiques, une suite d'un ensemble $E$ est une famille d'éléments de $E$ indexée par l'ensemble des entiers naturels $\backslash mathbb\; N$ ou par une partie $A$ de $\backslash mathbb\; N$. Autrement dit une suite est une application de $\backslash mathbb\; N$ vers $E$ ou de $A$ vers $E$. On note classiquement une suite $(u\_n)$, ou $(u\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\}$.

De manière vulgarisée, on pourrait dire qu'une suite est une liste d'objets mis en ordre, chacun ayant un numéro d'ordre.

Cas particuliers :

• si $E\; =\; \backslash mathbb\; R$, alors la suite est dite réelle,
• si $E\; =\; \backslash mathbb\; C$, alors la suite est dite complexe,
• si $A$ est une partie finie, alors la suite est dite finie.
• si $(u\_n)$ est une suite, si $\backslash exists\; N\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\; \backslash quad\; \backslash forall\; n\; \backslash geq\; N\; \backslash quad\; u\_n\; =\; 0$ on dit que $(u\_n)$ est une suite presque nulle, ou nulle à partir d'un certain rang.

Fragments d'histoire

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Les suites numériques sont liées à la mathématique de la mesure (mesures d'un phénomène prises à intervalles de temps réguliers) et à l'analyse (une suite numérique est l'équivalent discret d'une fonction numérique). La notion de suite est présente dès qu'apparaissent des procédés illimités de calcul. On en trouve, par exemple, dans la mathématique babylonienne, chez Archimède, spécialiste des procédés illimités d'approximation (séries géométriques de raison 1/4) pour des calculs d'aires et de volumes, ou, plus récemment en Égypte au 1 siècle après Jésus-Christ, dans le procédé d'extraction d'une racine carrée par la méthode de Héron d'Alexandrie :

Pour extraire la racine carrée de $A\; \backslash ;$, choisir une expression arbitraire $a\; \backslash ;$ et prendre la moyenne entre $a\; \backslash ;$ et $A\; \backslash over\; a$ et recommencer aussi loin que l'on veut le processus précédent

En notation moderne, cela définit la suite de nombres:

$a\_0\; =\; a\; \backslash ;$ et, pour tout entier $n\; \backslash ;$, $a\_\{n+1\}=\; \{1\; \backslash over\; 2\}(a\_n\; +\; \{A\backslash over\; a\_n\})$

On retrouve ensuite cette préoccupation plusieurs siècles plus tard (à partir du ) avec la méthode des indivisibles (Cavalieri, Torricelli, Pascal, Roberval). Dans l'Encyclopédie Raisonnée de d'Alembert et Diderot (1751), une grande part est laissée aux suites et séries dont le principal intérêt semble être leur convergence:

Suite et série : se dit d'un ordre ou d'une progression de quantités qui croissent ou décroissent suivant quelques lois. Lorsque la suite va toujours en s'approchant de plus en plus de quelque quantité finie (...) on l'appelle suite convergente et si on la continue à l'infinie, elle devient égale à cette quantité.

C'est ainsi que l'on voit Bernoulli, Newton, Moivre, Stirling et Wallis, s'intéresser aux suites pour approcher des valeurs numériques. C'est à Lagrange que l'on doit, semble-t-il, la notation indicielle. L'étude des suites ouvre la porte à celle des séries entières dont le but est d'approcher, non plus des nombres, mais des fonctions. Dans la seconde moitié du , le développement des calculateurs et des ordinateurs donne un second souffle à l'étude des suites en analyse numérique grâce à la méthode des éléments finis. On en retrouve l'usage aussi dans les mathématiques financières.

Parallèlement à ces études de suites pour leur convergence, se développe un certain goût pour l'étude de la suite non tant pour sa convergence mais pour son terme général. C'est le cas par exemple d'un grand nombre de suites d'entiers comme la suite de Fibonacci, celle de Lucas ou, plus récemment, celle de Syracuse. Sont aussi particulièrement étudiées les suites de coefficients dans des séries entières ou les suites de nombres découvertes lors de dénombrements.

Notations

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Soit $A$ une partie de $\backslash mathbb\; N$. Soit $u\; \backslash in\; E^A$ une suite d'éléments de $E$. Nous notons $u\_n$, l'image $u(n)$ de l'entier $n$ par $u$.

Ainsi, les images de $0,\; 1,\; 2,\; \backslash dots,\; n$ sont notées $u\_0,\; u\_1,\; u\_2,\; \backslash dots,\; u\_n$.

On dit que $u\_n$ est le terme de rang $n$, ou d'indice $n$ de la suite $u$.

Nous notons en général la suite $u$ : $(u\_n)\_\{n\; \backslash in\; A\}$ qui est donc une application.

Lorsque $A\; =\; \backslash mathbb\; N$, nous notons plus simplement la suite : $(u\_n)\; \backslash ,$.

Lorsque $A\; =\; \backslash mathbb\; N\_n\; =n=\; \backslash \{1,\; 2,\; \backslash dots,\; n\backslash \}$, nous pouvons noter la suite $(u\_k)\_\{1\; \backslash le\; k\; \backslash le\; n\}$ ou encore $(u\_1,\; u\_2,\; \backslash dots,\; u\_n)$.

L'ensemble des suites d'éléments de $E$, indexées par une partie $A$ de $\backslash mathbb\; N$ se note $\backslash mathcal\; F\backslash left(A,\; E\backslash right)$ ou $E^A$.

Remarque

Nous ne devons pas confondre la suite $u\; =\; (u\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\}$ avec l'ensemble des valeurs de la suite $\backslash \{u\_n\; /\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\; \backslash \}$ qui est l'image directe de $\backslash mathbb\; N$ par $u$. Par exemple, considérons la suite $\backslash left((-1)^n\backslash right)$, l'ensemble des valeurs de la suite est $\backslash \{-1,\; 1\backslash \}$.

Exemples

La suite nulle est la suite dont tous les termes sont nuls :

$\backslash left(0,\; 0,\; 0,\; 0,\; \backslash dots\; \backslash right)$

Pour des raisons de commodité, pour tout élément $k$ de $E$ on identifie $k$ et la suite :

$\backslash left(k,\; k,\; k,\; \backslash dots\; \backslash right)$

Posons $\backslash forall\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N,\; u\_n=\{1\; \backslash over\; \{n+1\}\}$; $u\; =\; (u\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\}$ est la suite des inverses des nombres entiers. Celle-ci peut être représentée par:

$\backslash left(1,\; \backslash frac\{1\}\{2\},\; \backslash frac\{1\}\{3\},\; \backslash frac\{1\}\{4\},\; \backslash frac\{1\}\{5\},\; \backslash frac\{1\}\{6\},\; \backslash cdots\; \backslash right)$

Terme général et récurrence

Une suite étant une application de A (partie de $\backslash mathbb\; N$) dans E , il est intéressant, voire primordial, de connaître l'image de n pour tout n de A. Si $u\_n$ est donné comme expression de n et permet un calcul direct du nombre, on dit que l'on connait le terme général de $u\_n$.

Cependant, si $A\; =\; \backslash \{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N,\; n\; \backslash geq\; n\_0\backslash \}$, la nature de l'ensemble de départ permet de définir la suite par une relation de récurrence : le terme d'indice n est donné comme fonction de n et des termes d'indices k, k ≤ n. La propriété de récurrence permet d'affirmer qu'il suffit alors de donner $u\_\{n\_0\}$ pour en déduire tous les termes. En pratique, la détermination de $u\_n\backslash ,$ va nécessiter le calcul de tous les termes de $u\_\{n\_0\}$ à $u\_\{n-1\}\backslash ,$, soit une opération bien longue. En programmation, cette récurrence a donné lieu à la création des fonctions récursives. Une partie de la recherche sur les suites va consister à déterminer le terme général d'une suite connaissant sa relation de récurrence.

Exemple : la suite définie par $u\_0$ = 1 et, pour tout entier n, $u\_\{n+1\}=\; (n+1)u\_n$ est la suite des factorielles : $u\_n\; =\; n!$

Somme des termes d'une suite

Si $E$ est un groupe additif, on note :

$\backslash sum\_\{n\; =\; p\}^\{q\}u\_n$

ou

$\backslash sum\_\{p\; \backslash le\; n\; \backslash le\; q\}u\_n$

la somme :

$u\_p\; +\; u\_\{p+1\}\; +\; \backslash cdots\; +\; u\_q$

Voir aussi : Série (mathématiques).

Exemples de suites

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Suite arithmétique

• Voir article détaillé : Suite arithmétique

C'est une suite à valeurs dans un groupe additif, définie par récurrence par

$$

\begin{cases} u_{n_0} = a\\ \forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} = u_n + r \end{cases} son terme général est alors

$u\_n\; =\; a\; +\; (n\; -\; n\_0)r\backslash ,$

Suite géométrique

• Voir article détaillé : Suite géométrique

C'est une suite à valeurs dans un corps, définie par récurrence par

$$

\begin{cases} u_{n_0} = a\\ \forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} = qu_n \end{cases} son terme général est alors

$u\_n\; =\; a\; q^\{n\; -\; n\_0\}\backslash ,$

Suites arithmético-géométriques

• Voir article détaillé : Suite arithmético-géométrique

C'est une suite à valeurs dans un corps, définie par récurrence par

$$

\begin{cases} u_{n_0} = U\\ \forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} = au_n + b \end{cases}

• Si a = 1, la suite est arithmétique
• Si $a\backslash neq\; 1$ son terme général est alors

$u\_n\; =\; \backslash frac\{b\}\{1-a\}\; +\; a^\{n\; -\; n\_0\}\backslash left(U\; -\; \backslash frac\{b\}\{1-a\}\backslash right)$

Suites récurrentes linéaires à coefficients constants

• Voir article détaillé : suite récurrente linéaire

Une suite récurrente linéaire est définie par une relation de récurrence :

$u\_\{n+p\}\; =\; a\_0u\_n\; +\; a\_1u\_\{n+1\}\; +\; \backslash cdots+\; a\_\{p-1\}u\_\{n+p-1\}$

où $a\_0$, $a\_1$, …$a\_\{p-1\}$ sont p scalaires ($a\_0$ non nul). L’entier p est appelé l’ordre de la récurrence. Sont entièrement connues les suites à récurrence linéaire d’ordre 1 (suite géométrique) et 2 (voir suite récurrente linéaire). Une suite récurrente linéaire d’ordre 2 célèbre est la suite de Fibonacci. L’étude des suites récurrentes linéaires d’ordre p fait appel à la notion d’espace vectoriel et au calcul matriciel.

Quelques suites célèbres

Il est assez surprenant que ce soit dans l'univers des suites d'entiers que l'on trouve les suites les plus célèbres :

• la suite de Fibonacci où chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent et dont on connaît le terme général et sa relation avec le nombre d'or
• la suite de Conway, piège de test de QI, où chaque terme est la description à voix haute du terme précédent
• la suite de Syracuse ou de Collatz définie par une relation de récurrence simple : le terme suivant est obtenu en prenant, ou bien la moitié du terme précédent si celui-ci est pair, ou bien le triple du terme précédent augmenté de un si celui-ci est impair. Cette suite reste encore une énigme pour les mathématiciens.

Limite de suite

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• Voir article détaillé: Limite de suite

Suite convergente

La notion de limite d'une suite est classique en topologie et les cas de convergence dans $\backslash R$ ou $\backslash mathbb\; C$ est un cas particulier de cette définition.; . « Moralement », l'idée est qu'une suite a une certaine limite lorsque ses points se rapprochent de la valeur limite lorsque l'indice devient grand.

Définition générale :

Soit $E$ un espace muni d'une topologie $\backslash mathcal\; O$. On note $\backslash mathcal\; O(u)$ l'ensemble des ouverts contenant $u$.
On dira que la suite $(u\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}\backslash in\; E^\{\backslash mathbb\; N\}$ est une suite convergente vers $u^*\backslash in\; E$ si

$\backslash forall\; O\backslash in\backslash mathcal\; O(u^*)$, $\backslash exist\; N\backslash in\; \backslash mathbb\; N$ tel que $\backslash forall\; n\; >\; N$, $u\_n\; \backslash in\; O$.

Cette définition se traduit plus simplement pour des suites convergente dans $\backslash R$ ou $\backslash mathbb\; C$

Suite réelle convergente

On dira que la suite $u$ est convergente vers $u^*$ lorsque pour tout $\backslash eta\backslash in\backslash mathbb\; R\_+^*$, il existe $N\backslash in\backslash mathbb\; N$ tel que pour tout $n\backslash in\backslash mathbb\; N$, $n>N$:

$|u\_n-u^*|\backslash le\backslash eta$

On dit alors que $u$ tend vers $u^*$, et on le note :

$\backslash lim\_\{n\backslash rightarrow+\backslash infty\}u\_n=u^*$

Suite complexe convergente

La même définition s'applique en écrivant, à la place d'une valeur absolue, un module.

Limites infinies

Pour les suites réelles, on élargit le champ des limites possibles aux deux limites infinies $+\; \backslash infty$ et $-\backslash infty$ avec les définitions suivantes

Définition 1 :

On dira que la suite $u$ est divergente vers $+\backslash infty$ lorsque pour tout $M\backslash in\backslash mathbb\; R\_+^*$, il existe $N\backslash in\backslash mathbb\; N$ tel que pour tout $n\backslash in\backslash mathbb\; N$, $n>N$:

$u\_n>M$

On dit alors que $u$ tend vers $+\backslash infty$, et on le note :

$\backslash lim\_\{n\backslash rightarrow+\backslash infty\}u\_n=+\backslash infty$

Définition 2 :

On dira que la suite $u$ est divergente vers $-\backslash infty$ si, pour tout $M\backslash in\backslash mathbb\; R\_+^*$, il existe $N\backslash in\backslash mathbb\; N$ tel que pour tout $n\backslash in\backslash mathbb\; N$, $n>N$:

On dit alors que $u$ tend vers $-\backslash infty$, et on le note :

$\backslash lim\_\{n\backslash rightarrow+\backslash infty\}u\_n=-\backslash infty$

Propriétés

Les propriétés sur les limites

• Unicité
• Opération
• Complétude

vont dépendre de l'espace sur lequel on travaille et sont détaillées dans l'article : Limite de suite.

Suites réelles et relation d'ordre

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Suites monotones

Définition

On dit qu'une suite réelle est monotone lorsqu'elle est croissante ou décroissante. Par extension, une suite réelle est dite strictement monotone lorsqu'elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

Propriétés

• Suite croissante: On dira que la suite $(u\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}\backslash in\; \backslash mathbb\; R^\{\backslash mathbb\; N\}$ est croissante lorsque :

$\backslash forall\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N,\; u\_\{n+1\}\; \backslash ge\; u\_\{n\}$

• Suite strictement croissante: On dira que la suite $(u\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}\backslash in\; \backslash mathbb\; R^\{\backslash mathbb\; N\}$ est strictement croissante lorsque :

$\backslash forall\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N,\; u\_\{n+1\}>u\_\{n\}$

• Suite décroissante:On dira que la suite $(u\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}\backslash in\; \backslash mathbb\; R^\{\backslash mathbb\; N\}$ est décroissante lorsque :

$\backslash forall\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N,\; u\_\{n+1\}\backslash le\; u\_\{n\}$

• Suite strictement décroissante: On dira que la suite $(u\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}\backslash in\; \backslash mathbb\; R^\{\backslash mathbb\; N\}$ est strictement décroissante lorsque :

• Suite super croissante: On dira que la suite $(u\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}\backslash in\; \backslash mathbb\; R^\{\backslash mathbb\; N\}$ est super croissante lorsque :

$\backslash forall\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N,\; u\_\{n+1\}>\backslash sum\_\{i\; =\; 0\}^\{n\}u\_i$

Exemples

La suite définie $\backslash forall\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N$ par $U\_n\; =\; 2n+1$ est strictement croissante sur $\backslash mathbb\; R$.

Critères

Propriété 1 : critère de croissance

Propriété 2 : critère de décroissance

Limites de suites monotones

Suite monotone bornée

L'axiome de la borne supérieure, permet de démontrer facilement :

Si $(u\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}\backslash in\; \backslash mathbb\; R^\{\backslash mathbb\; N\}$ est croissante (resp. décroissante) et majorée par $M$ (resp. minorée par $m$), alors $(u\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\}$ est convergente et $\backslash lim\_\{n\; \backslash rightarrow\; +\; \backslash infty\}u\_n\; \backslash le\; M\; (\; \backslash mbox\{resp.\}\; \backslash lim\_\{n\; \backslash rightarrow\; +\; \backslash infty\}u\_n\; \backslash ge\; m\; )$.

De cette propriété, découle la remarque suivante :

Si :

• $(u\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}\backslash in\; \backslash mathbb\; R^\{\backslash mathbb\; N\}$ est croissante
• $(v\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}\backslash in\; \backslash mathbb\; R^\{\backslash mathbb\; N\}$ est décroissante
• $\backslash exist\; N\backslash in\; \backslash mathbb\; N$ tel que : $\backslash forall\; n\; >\; N$ on a $u\_n\; \backslash le\; v\_n$

alors :

$(u)$ et $(v)$ sont convergentes et $\backslash lim\_\{n\backslash rightarrow+\backslash infty\}u\_n\backslash le\backslash lim\_\{n\backslash rightarrow+\backslash infty\}v\_n$

Suite monotone non bornée

Si $(u\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}\backslash in\; \backslash mathbb\; R^\{\backslash mathbb\; N\}$ est croissante (resp. décroissante) et non majorée (resp. non minorée ), alors $(u\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\}$ tend vers $+\; \backslash infty$ (resp. $-\; \backslash infty$)

Suites adjacentes

• voir article détaillé : Théorème des suites adjacentes.

Deux suites réelles $(a\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\; \}$ et $(b\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\; \}$ sont dites adjacentes lorsque :

• l'une est croissante
• l'autre est décroissante
• la suite $(a\_n-b\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\; \}$ converge vers 0
  

L'intérêt des suites adjacentes est qu'elles permettent d'une part de prouver l'existence d'une limite, d'autre part de fournir un encadrement de celle-ci aussi fin qu'on le souhaite. Ceci grâce aux deux propriétés suivantes:

• Si deux suites réelles $(a\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\; \}$ et $(b\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\; \}$ sont adjacentes, alors elles convergent et ont la même limite $\backslash ell$.
• De plus, en supposant $(a\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\; \}$ croissante et $(b\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\; \}$ décroissante on a :

$\backslash forall\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N,\; a\_n\; \backslash leq\; a\_\{n+1\}\; \backslash leq\; \backslash ell\; \backslash leq\; b\_\{n+1\}\; \backslash leq\; b\_n$

Suites particulières

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Suites de Cauchy

• ''Voir article détaillé : Suite de Cauchy

Dans ce paragraphe, on supposera que $(\; \backslash mathbb\; E,d)$ est un espace métrique. Une suite $(u\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\}$ est dite de Cauchy lorsque : $\backslash forall\; \backslash eta\; \backslash in\; \backslash mathbb\; R^*\_+$, $\backslash exist\; N\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N$ tels que : $\backslash forall\; p\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N$, $\backslash forall\; q\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N$, $p\; \backslash ge\; N$ et $q\; \backslash ge\; N$ $\backslash Rightarrow\; d(u\_p,u\_q)\backslash le\backslash eta$

On démontre que

• Toute suite convergente est une suite de Cauchy.
• Toute suite de Cauchy est bornée.

On appelle espace complet un espace où toute suite de Cauchy est convergente.

Suites extraites

• Voir article détaillé : Sous-suite

Soit $(u\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\; \}$ une suite à valeurs dans un espace $E\backslash ,$.

Si $\backslash mathbb\; N\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\; N\; ,\; n\; \backslash mapsto\; \backslash sigma(n)$ est une fonction strictement croissante (une telle fonction s'appelle une extractrice), on dit que la suite $(u\_\{\backslash sigma(n)\})\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\; \}$ est une suite extraite (ou sous-suite) de la suite $(u\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\; \}$.

Grosso modo, c'est la suite $(u\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\; \}$ pour laquelle on n'a gardé que certains termes (une infinité quand même).

Ces suites extraites se révèlent intéressantes quand on cherche à déterminer des valeurs d'adhérence.

Suites équivalentes

Définition

Soient $(u\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\}$ et $(v\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\}$ deux suites à valeurs réelles. $(u\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\}$ et $(v\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\}$ sont équivalentes si et seulement si

• $\backslash exists$ $(\{\backslash varepsilon\}\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\}$ telle que $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infin\}\; (\{\backslash varepsilon\}\_n)\; =\; 0$
• $\backslash exists\; N\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N$ tel que $\backslash forall\; n\; \backslash geq\; N,\; u\_n\; =\; v\_n.\; (1\; +\; \{\backslash varepsilon\}\_n)$
  
  

On note alors $u\_n\; \backslash sim\; v\_n$

Remarque Si $v\_n\; \backslash ne\; 0$ à partir d'un certain rang, alors $u\_n\; \backslash sim\; v\_n$ si et seulement si $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infin\}\; =\; 1$

Suites prépondérantes

Définition

Soient $(u\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\}$ et $(v\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\}$ deux suites à valeurs réelles. On dit que $(u\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\}$ est négligeable devant $(v\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\}$ si et seulement si :

• $\backslash exists$ $(\{\backslash varepsilon\}\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N\}$ telle que $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infin\}\; (\{\backslash varepsilon\}\_n)\; =\; 0$ et $\backslash \; u\_n\; =\; \backslash varepsilon\_n\; v\_n$, ce qu'on note $u\_n\; =\; o(v\_n)$

Remarque Si $v\_n\; \backslash ne\; 0$ à partir d'un certain rang, alors $u\_n\; =\; o(v\_n)$ si et seulement si $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infin\}\; =\; 0$

Exemple

Considérons $u\_n\; =\; \{1\; \backslash over\; n^2\}$ et $v\_n\; =\; \{1\; \backslash over\; n\}$
Posons $\{\backslash varepsilon\}\_n\; =\; \{1\; \backslash over\; n\}$ On a alors :

• $u\_n\; =\; \{\backslash varepsilon\}\_n.\; v\_n$
• $\backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infin\}\; \{1\; \backslash over\; n\}\; =\; 0$

D'où $\{1\; \backslash over\; n^2\}\; =\; o\; (\{1\; \backslash over\; n\})$

Voir aussi

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• Adhérence (mathématiques)
• Suite de Skolem

Lien externe et sources

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• L'encyclopédie de d'Alembert et Diderot sur Gallica. Tome XV (voir p 93)
• Histoire des mathématiques par Jacques Bouveresse, Jean Itard et Émile Salé

Analyse réelle | Suite

Folge (Mathematik) | Sequence | Sucesión matemática | Sucesión matemática | Sequo | Barisan | Successione (matematica) | 列 (数学) | 수열 | Rij (wiskunde) | Ciąg (matematyka) | Sucessão matemática | Succissioni (matimatica) | Zaporedje | Dãy (toán) | 序列