Statistique de Maxwell-Boltzmann

La statistique de Maxwell-Boltzmann est une distribution] utilisée en physique statistique pour déterminer la distribution de particules selon un ensemble de niveaux d'énergie. Elle est notamment à la base de la théorie cinétique des gaz.

Énoncé

Formulation discrète

On se donne un système de N particules n'interagissant pas entre elles et pouvant prendre les différents états d'énergie discrets E_i. Le nombre N_i de particules dans un état d'énergie donné E_i est :

N_i=N\frac{g_i\exp\left(-E_i/kT\right)}{\sum_{j}^{}{g_j\exp\left(-E_j/kT\right)}}

où

g_i est la dégénerescence de l'état d'énergie E_i, c'est-à-dire le nombre d'états possédant l'énergie $E_i$ ;
k, la constante de Boltzmann ;
T, la température.

Formulation continue

On considère un système de N particules sans interaction entre elles et pouvant prendre continûment tout état d'énergie entre zéro et l'infini. Le nombre dN_i de particules possédant une énergie entre E et E+dE est :

\mathrm{d}N_i = N \frac {g(E)\exp\left(-E/kT\right)} {\int g(\varepsilon)\exp\left(-\varepsilon/kT\right) \mathrm{d}\varepsilon} \, \mathrm{d}E

où g(E) est le nombre d'états d'énergie comprise entre E et E+dE.

Limitations

La statistique de Maxwell-Boltzmann s'applique en l'absence d'interaction entre particules : elle est donc valable pour un gaz parfait mais ne s'applique pas, par exemple, à un liquide.

De plus, elle s'applique aux « hautes températures » lorsque les effets quantiques sont négligeables. À basse température sont utilisées la statistique de Bose-Einstein pour les bosons et la statistique de Fermi-Dirac pour les fermions.

Applications

Biophysique

En neurosciences, on décrit souvent les mécanismes d'ouverture et de fermeture des protéines-canaux membranaires par une fonction de Boltzmann simplifiée quand ceux-ci sont dépendants du potentiel de membrane. La formule utilisée est alors:

\frac{G(V)}{G_{max}}=\frac{1}{1+e^{\frac{V-V_{1/2}}{k}}}

où

V est le potentiel de membrane,
G(V) est la conductance ionique associée aux canaux, dépendante du potentiel de membrane,
G_max est la conductance maximale,
V_1/2 est le potentiel de membrane pour lequel la moitié des canaux sont ouverts,
k est la dépendance de l'ouverture des canaux par rapport au changement de potentiel, décrit dans la littérature comme étant la "constante de pente".

La fonction de Boltzmann est ici utilisée pour décrire les résultats expérimentaux issus de la mesure en potentiel imposé des courants de membrane, et ainsi determiner les propriétés des différentes catégories de courants membranaires. Les paramètres V_1/2 et k sont determinants pour la modélisation informatique des propriétés électriques d'une cellule nerveuse.

Voir également

Physique statistique