Sous-ensemble

En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B si tout élément de A est un élément de B.

Ensemble vide

L’Axiome de l'ensemble vide affirme l’existence d’un ensemble sans aucun élément, dit ensemble vide. En notation symbolique :

\exists E,\forall x,\ x \,\not\in \,E

Comme un ensemble est déterminé complètement par ses éléments, l’ensemble vide est unique (conséquence de l’Axiome d'extensionnalité). Il est noté « Ø », parfois « { } ». En notation symbolique, nous obtenons :

\forall A,\ \left({( A = \varnothing ) \Leftrightarrow (\forall x,\ x \,\not\in \,A)} \right)

Ensemble universel

Symétriquement à l’ensemble vide qui ne contient rien, il serait utile de disposer d’un ensemble universel, ou référentiel, qui contiendrait tout, ne serait-ce que comme cadre de référence pour les opérations concernant les ensembles.

La première solution qui vient à l’esprit est de définir un « ensemble de tous les ensembles ». Mais l’existence d’un tel ensemble mène à des contradictions tel que le Paradoxe de Russell. À partir de là, deux attitudes sont possibles :

nous pouvons considérer que l' « ensemble de tous les ensembles » n’existe pas et nous contenter, comme ensemble universel, d’un ensemble de référence suffisamment grand pour contenir tous les objets susceptibles d’intervenir; il est important de comprendre que cet ensemble universel n’est défini que temporairement, dans un contexte donné. Ce n’est qu’un référentiel relatif.

Par exemple, si nous nous intéressons uniquement aux propriétés des nombres réels, alors nous pouvons prendre

\ _\mathbb R

, ensemble des nombres réels, comme référentiel.

nous pouvons aussi considérer que l' « ensemble de tous les ensembles » existe, mais que ce n’est pas un ensemble ; d’un point de vue axiomatique, on se place alors dans une théorie des ensembles avec classes. Dans une telle théorie, tous les objets mathématiques sont des classes, qui se répartissent :

en ensembles (les classes éléments d’autres classes) ;
et en univers (les classes qui n’appartiennent pas à d’autres classes).

On peut alors utiliser l’univers des ensembles comme référentiel absolu, avec précaution toutefois, car certaines opérations n’ont pas de sens avec les univers (par exemple, un univers n’a ni cardinal, ni ensemble des parties...).

Les deux attitudes n’entraînent pas de différences sensibles au niveau de la théorie naïve des ensembles.

Dans tous les cas, nous noterons « Ω » le référentiel. D’autres notations existent, par exemple « U » (nous n’utiliserons cependant pas cette notation, afin d’éviter tout risque de confusion avec le symbole de l’opération ensembliste de réunion).

Inclusion. Sous-ensembles et sur-ensembles

Soient deux ensembles A et B. Par définition, A est inclus dans B si tout élément de A est nécessairement un élément de B. En notation symbolique, si l’inclusion est notée « ⊆ » :

(A \subseteq B) \Leftrightarrow x,\ (x \in A) \Rightarrow (x \in B)

où « ⇒ » désigne l'implication logique. « A ⊆ B » peut aussi se lire :

« A est contenu dans B »,
« A est une partie de B »,
ou « A est un sous-ensemble de B ».

et peut aussi s'écrire « B ⊇ A », qui se lit :

« B inclut A »,
« B contient A »,
« B est une extension de A »,
ou « B est un sur-ensemble de A ».

Un sous-ensemble A d'un ensemble B peut être défini par sa fonction caractéristique $\chi_A$ $\ _{ : \ B \rightarrow \{ 0 , 1 \} }$ , définie par $\chi_A$ ( x ) vaut 1 si x est élément de A , et 0 sinon :

\forall x \in B,\ \chi_A( x) = 1 ) \Leftrightarrow ( x \in A ) \wedge \chi_A( x) = 0 ) \Leftrightarrow ( x \,\not\in \,A )

On appelle aussi cette fonction l'indicatrice de A dans B.

Notons que nous pouvons aussi définir en compréhension des sous-ensembles : si P est une proposition, alors { x ∈ A | P(x) } est un sous-ensemble de A.

Inclusion large et inclusion stricte. Sous-ensembles propres

Remarquons qu'un ensemble est toujours sous-ensemble de lui-même ( voir proposition 2 ci-dessous ). Il peut être nécessaire d'exclure ce cas et de ne considérer que des sous-ensembles différents de l'ensemble lui-même. C'est pourquoi on définit une inclusion stricte, notée « ⊂ » . Un ensemble A est strictement inclus dans un ensemble B si et seulement si A est inclus dans B sans lui être égal. En notation symbolique :

(A \subset B) \Leftrightarrow \subseteq B) \wedge (A \ne B)

où Λ est le symbole du ET logique. L'inclusion habituelle est alors qualifiée d’inclusion large, mais ce qualificatif est le plus souvent sous-entendu.

Note : beaucoup utilisent les symboles « ⊂ » et « ⊃ » pour les inclusions larges (parce que plus faciles à écrire), mais ne disposent pas alors de notation spécifique pour les inclusions strictes. Dans cette encyclopédie, « ⊆ » et « ⊇ » sont utilisés pour les inclusions (larges) alors que « ⊂ » et « ⊃ » sont réservés aux inclusions strictes.

Nous avons vu qu'à part lui-même, un ensemble compte toujours au moins un autre sous-ensemble : l'ensemble vide. Ces deux sous-ensembles sont parfois dits « triviaux ». Par opposition, les autres sous-ensembles sont appelés sous-ensembles propres.

Comme exemple, supposons que :

A est l'ensemble des nombres réels,
B est l'ensemble des nombres entiers,
C est l'ensemble des entiers impairs,
et D l'ensemble des présidents des États-Unis depuis leur fondation.

Alors C est un sous-ensemble de B, B est un sous-ensemble de A, et C est un sous-ensemble de A. Notons que tous les ensembles ne sont pas comparables du point de vue de l'inclusion. Ainsi, dans notre exemple, A n'est pas un sous-ensemble de D, ni D de A.

Propriétés de l'inclusion

Nous avons la :

PROPOSITION 1 : L' ensemble vide est sous-ensemble de tout ensemble.

En notation symbolique :

\forall A , \;\varnothing \subseteq A

Démonstration : Pour tout ensemble A, nous devons démontrer que Ø est un sous-ensemble de A. Cela revient à démontrer que tous les éléments de Ø sont des éléments de A. Mais il n’existe pas d’éléments de Ø. Pour les mathématiciens expérimentés, l' inférence « Ø n’a pas d’éléments, donc tous les éléments de Ø sont des éléments de A » est triviale, mais cela peut être dérangeant pour le débutant. Comme Ø n’a pas du tout d’élément, comment des éléments qui n’existent pas, peuvent-ils être éléments de quelque chose d’autre? Il peut être utile de raisonner différemment (par l’absurde). Si nous avions supposé que Ø n' était pas un sous-ensemble de A, nous aurions pu trouver un élément de Ø n’appartenant pas à A. Comme il n’existe pas d’élément de Ø, c’est impossible et donc Ø est par conséquent un sous-ensemble de A.

Nous avons aussi la :

PROPOSITION 2 : Tout ensemble est inclus dans lui-même.

En notation symbolique :

\forall A,\ A \subseteq A

La preuve en est évidente : (indication : remplacez B par A dans la définition de l’inclusion).

C’est aussi le cas de la :

PROPOSITION 3: Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si A est un sous-ensemble de B et B est un sous-ensemble de A.

En notation symbolique :

\forall A, \forall B,\ (A = B) \Leftrightarrow \subseteq B) \wedge (B \subseteq A)

Enfin, les inclusions entre les ensembles A, B et C ci-dessus illustrent la :

PROPOSITION 4: Pour trois ensembles quelconques A, B et C, si A est un sous-ensemble de B et B est un sous-ensemble de C, alors A est un sous-ensemble de C.

En notation symbolique :

\Rightarrow (A \subseteq C)

Là aussi, la preuve en est un exercice facile.

En anticipant sur la notion de relation d'ordre, nous pouvons constater que les propositions ci-dessus montrent que l'inclusion est un ordre partiel dans l’ensemble universel Ω et que Ø en est un plus petit élément.

Ensemble des parties

Pour chaque ensemble E, nous pouvons définir un ensemble P dont les éléments sont les sous-ensembles de E :

\forall E, \exists \,P,\forall x,\ ((x \in P) \Leftrightarrow (x \subseteq E))

L’existence de cet ensemble est garantie par l’axiome de l'ensemble des parties, et son unicité par l’axiome d'extensionnalité. Il est appelé ensemble des parties de E, et noté habituellement «

\ _\mathfrak P

(E) » ou «

\ _\mathcal P

(E) » ( lire « P de E » ).
Par exemple si A = { a, b } , alors

\ _\mathfrak P

(A) = { Ø , { a } , { b } , A }.

Quel que soit l’ensemble E, l’inclusion munit $\ _\mathfrak P$ (E) d’un ordre partiel, voire total si E a moins de deux éléments.

Voir aussi

Théorie des ensembles

Gourt Home::Gourt :: Sous-ensemble

Ensemble vide

Ensemble universel

Inclusion. Sous-ensembles et sur-ensembles

Inclusion large et inclusion stricte. Sous-ensembles propres

Propriétés de l'inclusion

Ensemble des parties

Voir aussi