Réduction d'endomorphisme

Motivation

Le concept de réduction

La technique de réduction en algèbre est fréquente, elle consiste à réduire un concept, en sous-concepts le plus simple possible et permettant de reconstruire le cas général. Dans le cas des endomorphismes (c'est à dire des applications linéaires d'un espace vectoriel dans lui-même) la technique consiste à décomposer l'espace vectoriel en plus petits espaces. Cette réduction doit posséder six propriétés. L'endomorphisme définit par restriction un nouvel endomorphisme sur chacun des sous-espaces (c'est-à-dire chacun est un sous-espace vectoriel stable), ainsi la petite structure est une entité intrinsèque avec sa propre cohérence. Les intersections des sous-espaces pris deux à deux sont réduites au vecteur nul, ce qui assure l'indépendance de chacune des petites structures. Elles générent l'espace entier, ce qui offre l'exhaustivité de l'analyse. La réduction décrit l'intégralité de la structure originelle. Elle est maximale, c'est à dire qu'il n'existe pas de décomposition en éléments plus petits et donc plus simple. Elle est aussi simple que possible, c'est à dire que pour chacune des sous-structures il n'existe pas de représentation plus élémentaire. Hélas, elle n'est pas unique.

Endomorphisme et vecteur propre

La structure d'espace vectoriel sur lequel s'applique l'endomorphisme possède des propriétés différentes selon les cas. Dans l'hypothèse ou la dimension est finie, alors la structure du corps détermine l'essentiel des propriétés de réduction. Une approche très générale, pour établir la relation entre la structure du corps et la réduction des endomorphismes consiste à analyser la structure de l'anneau des polynômes associée au corps. Cette approche est analysée dans l'article polynôme d'endomorphisme. Le cas le plus simple est celui ou le corps est dit algébriquement clos, c'est à dire que tout polynôme admet au moins une racine. C'est le cas des nombres complexes. Alors la réduction est particulièrement efficace. La notion de valeur propre devient le bon outil dans ce contexte. En fait, l'analyse du polynôme minimal montre qu'il existe un cas, générique du point de vue topologique, mais qui n'est pas le cas général, où il existe une base de vecteurs propres. On parle alors de diagonalisation.

Réduction de Jordan

Ce qui empéche que le cas générique évoqué ci-dessus, celui de la diagonalisation, soit le cas général, ce sont essentiellement les endomorphismes nilpotents. Le cas général, comprenant cette obstruction due aux endomorphismes nilpotents, a été analysé par le mathématicien Camille Jordan. On montre que tout endomorphisme en dimension finie sur un corps algèbriquement clos se décompose en sous-espaces propres où l'endomorphisme est la somme d'une homothétie et d'un endomorphisme nilpotent.

Endomorphisme et distance

Il existe un cas particulier d'espace vectoriel : ceux qui sont munis d'une distance compatible avec la structure vectorielle. Un cas important est celui où la distance est euclidienne (ou hermitienne dans le cas complexe). L'ajout de cette structure offre une nouvelle voie d'accès à la problématique de la réduction d'endomorphisme. S'il est compatible avec la distance, c'est à dire s'il est normal alors une nouvelle approche est possible. Dans ce contexte, l'exception nilpotente est absente. La réduction est plus simple et les techniques algorithmiques associées plus rapides.

Analyse fonctionnelle et opérateur linéaire

Ce cas guide Hilbert dans une nouvelle direction. La généralisation de l'approche aux opérateurs différentiels. Ces opérateurs comme le laplacien ou le d'alembertien sont la clé d'importants problèmes en physique. Ils peuvent se représenter comme une équation linéraire, mais dans un espace de dimension infinie. Si l'approche générale de Jordan est vouée à l'échec car les polynômes ne s'appliquent pas dans ce contexte, en revanche ces opérateurs présentent les bonnes propriétés de compatibilité vis à vis d'une distance qu'il est possible de définir sur l'espace. Hilbert, propose une approche novatrice, consistant à étudier les propriétés géométriques de ces espaces de dimension infinie, au lieu de se limiter à une analyse d'un point particulier: la fonction solution de l'équation. Cette approche ouvre une nouvelle branche des mathématiques devenue essentielle au siècle dernier: l'analyse fonctionnelle. La physique moderne, aussi bien sous sa forme quantique que sous sa forme relativiste utilise largement cette vision des choses.

Histoire

A faire

Cas général de la dimension finie

Réduction et sous-espaces propres

Article détaillé: Valeur propre

Il existe un premier candidat naturel pour une réduction, elles correspond à une décomposition en espaces propres. Une présentation complète du concept est proposé dans l'article Valeur propre et une plus rapide dans Vecteur propre.

En résumé, on peut dire qu'un vecteur propre est un vecteur non nul dont l'image par l'endomorphisme est colinéaire au vecteur d'origine. Le rapport de colinéarité est appelé valeur propre. L'ensemble des vecteurs propres pour une valeur propre donnée associé au vecteur nul forme un sous-espace vectoriel appelé espace-propre.

Une décomposition en sous-espaces propres représente donc un grand nombre des propriétés recherchées pour une réduction.

Les espaces propres sont stables par l'endomorphisme.
L'intersection de deux espaces propres est réduit au vecteurs nul.
La restriction de l'endomorphisme à un espace propre est une homothétie. C'est à dire une application qui à un vecteur x associe le vecteur λ.x. C'est donc une application particulièrement simple.

Les propriétés recherchées dans la réduction sont presque rassemblées.

Démonstration

Les espaces propres sont des espaces vectoriels stables par l'endomorphisme.
L'intersection de deux espaces propres est réduit au vecteurs nul.
La restriction de l'endomorphisme à un espace propre est une homothétie.

L'article Valeur propre dans la boite déroulante sur les propriétés des vecteurs propres en dimension finie montre que les espaces-propres disposent d'une structure d'espace vectoriel stable par l'endomorphisme et qu'ils sont en somme directe. Les deux premières propositions sont donc démontrées. La troisième est une conséquence immédiate de la définition d'un vecteur propre.

Diagonalisation

''Article détaillé: Diagonalisation

Il suffirait, en effet d'une propriété supplémentaire pour permettre une réduction à l'aide de cette approche, que la somme directe des espaces propres génère l'espace vectoriel entier. Cela signifie qu'il existe une base B de vecteurs propres. Les deux propriétés manquantes sont alors réunies, la réduction est alors composée de sous-espaces de dimension 1, ceux générés par les vecteurs de la base. Cette décomposition est maximal car il n'existe pas de décomposition en somme directe de sous-espaces non réduits au vecteur nul qui contiennent plus de sous-espaces que la dimension de l'espace. Le fait que B soit une base garantie que la décomposition génère bien l'espace entier.

En termes plus formels, si $u$ est un endomorphisme d'un $\mathbb K$ -espace vectoriel de dimension finie égale à n ou n est un entier strictement positif. Alors les trois propositions suivantes sont équivalentes. Elles fournissent la définition d'un premier cas de réduction pour $u$ .

$u$ est diagonalisable
Il existe une base de vecteurs propres.
La somme des dimensions des espaces propres est égale à la dimension de l'espace entier.
La somme des espaces propres engendre l'espace entier.
toute représentation matricielle de u est diagonalisable.

La démonstration se trouve dans l'article Diagonalisation, sauf pour la dernière équivalence qui est traité dans Matrice diagonale.

Diagonalisation et polynôme caractéristique

article détaillé: Polynôme caractéristique

Il existe d'autres propriétés importantes associées à cette définition. Elles proviennent essentiellement d'une approche polynômiale sur l'endomorphisme. Le polynôme caractéristique est, en dimension finie, un outil puissant d'analyse des endomorphismes. Il est défini comme le déterminant suivant: det(u -λ.I ). Comme le déterminant s'annule si et seulement le noyau de l'application linéaire associé n'est pas réduit au vecteur nul, le polynôme possède comme racines, les valeurs propres de l'endomorphismes. Trois propriétés analysent la relation entre diagonalisation et polynômes caractéristiques.

Si le polynôme caractéristique possède n racines distinctes alors l'endomorphisme est diagonalisable.

C'est une condition suffisante, mais non nécessaire. Considérons le cas d'une homothétie dans le cas ou n n'est pas égal à 1. Le polynôme caractéristique ne possède qu'une racine multiple. Pourtant l'endomorphisme est clairement diagonalisable car toute base est constituée de uniquement de vecteurs propres. Il existe de plus la condition nécessaire suivante:

Si l'endomorphisme est diagonalisable, alors le polynôme caractéristique est scindé.

Dire que le polynôme caractéristique P(X) est scindé signifie qu'il peut s'écrire comme puissance de monômes:

P(X)=\prod_i -(X-\lambda_i)^{n_i}\;

Pour l'obtention d'une condition nécessaire et suffisante à partir du polynôme caractéristique, une définition supplémentaire est nécessaire.

l' ordre de multiplicité algébrique d'une valeur propre est l'ordre de multiplicité de la racine dans le polynôme caractéristique.

L'ordre de multiplicité algébrique d'une valeur propre λ correspond donc à la puissance du monôme (X-λ) dans le polynôme caractéristique. L'adjonction de cette définition permet l'expression d'une condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité.

L'endomorphisme est diagonalisable si et seulement si, tout espace propre possède une dimension égale à la multiplicité algèbrique de la valeur propre associée.

Démonstration

Si le polynôme caractéristique possède n racines distinctes alors l'endomorphisme est diagonalisable.

Si le polynôme caractéristique possède n racines distinctes alors il existe n vecteurs propres aux valeurs propres associées distinctes. Or l'article sur les valeurs propres nous apprend dans la boite déroulante des propriétés suplémentaires des propriétés des valeurs et vecteurs propres' dans le cas de la dimension finie, qu'ils sont libres. Or une famille libre de cardinal égal à la dimension de l'espace forme une base. Ce qui démontre la proposition.

L'endomorphisme est diagonalisable si et seulement si, tout espace propre possède une dimension égale à la multiplicité algèbrique de la valeur propre associée.

Si l'endomorphisme est diagonalisable, alors il existe une représentation matricielle diagonale. Le calcul du polynôme caractéristique à l'aide d'une telle représentation montre immédiatement que la dimension d'un espace propre est égal à la multiplicité algèbrique du polynôme caractéristique.

Réciproquement, si la multiplicité algébrique de la valeur propre est égale à la dimension de l'espace propre associée, alors la somme des dimensions des espaces propres est égal au degré du polynôme et donc à la dimension de l'espace entier. Le paragraphe précédent montre que cela prouve le caractère diagonalisable de l'endomorphisme.

Si l'endomorphisme est diagonalisable, alors le polynôme caractéristique est scindé.

C'est une conséquence directe de la proposition précédente.

Endomorphisme diagonalisable et polynôme minimal

Article détaillé: Polynôme d'endomorphisme

Si l'approche par le polynôme caractéristique offre des premiers résutats, elle n'est néanmoins pas intégralement satisfaisante. En effet, le calcul du polynôme est souvent lourd, et la recherche de la dimension des espaces propres n'est pas simple.

Le concept de polynôme d'endomorphisme propose un autre candidat, souvent plus pertinent pour l'analyse des applications linéaires en dimension finie. C'est le polynôme minimal. A l'instar du polynôme caractéristique, ses racines sont aussi les valeurs propres. Le polynôme minimal est souvent plus appliqué. Enfin, le polynôme minimal dispose de propriétés théoriques fortes, que l'on trouve dans l'article Polynôme d'endomorphisme. On y trouve par exemple la condition nécessaire et suffisante suivante:

Un endomorphisme u est diagonalisable si et seulement son polynôme minimal est scindé sur K et à racines simples.

Cas ou le polynôme minimal est scindé

Réduction et endomorphisme nilpotent

Article détaillé: Endomorphisme nilpotent

Même dans le cas ou le polynôme minimal est scindé, il existe au moins un cas ou la diagonalisation est impossible, celui des endomorphismes nilpotents. L'unique valeur propre est 0 donc l'unique espace propre est son noyau. En conséquence le seul endomorphisme nilpotent diagonalisable est l'endomorphisme nul.

Les endomorphismes nilpotents disposent néanmoins d'une réduction traitée et démontrée dans l'article Endomorphisme nilpotent dans le paragraphe nilpotence et réduction en dimension finie.

Il existe une suite $(E_i)\;$ de sous-espaces vectoriels stables par u, non réduits au vecteur nul, qui engendrent par somme directe l'espace tout entier, et tel que, pour tout i, il existe un vecteur $x_i\;$ non nul d'indice $p_i\;$ pour lequel la famille $(x_i, u(x_i),...u^{p_i-1}(x_i))\;$ forme une base de $E_i\;$ . La réunion de ces familles forme une base de l'espace entier. On appelle ces sous-espaces des espaces de Jordan.

Nous y trouvons bien toutes les caractéristiques d'une réduction, une décomposition en somme directe de sous-espaces stables qui engendre l'espace entier. Cette décomposition est bien maximale comme le montre l'article précédent, et pour un sous-espace, il est difficile de trouver une représentation plus simple.

Décomposition de Dunford

Article détaillé: Décomposition de Dunford

Si le cas des endomorphismes nilpotents apparaît dans un premier temps comme une exception au cas diagonalisable, la théorie des polynômes d'endomorphismes nous montre que cette exception est unique. Plus précisément, dans le cas de la dimension finie et si le polynôme minimal est scindé alors la proposition suivante, connue sous le nom de décomposition de Dunford est vraie:

L'endomorphisme u est la somme d'un endomorphisme diagonalisable et d'un endomorphisme nilpotent qui commutent entre eux.

Démonstration dans Polynôme d'endomorphisme

Dans le contexte du théorème, le polynôme minimal $(\chi_i)\;$ s'écrit sous la forme suivante:

\chi

^*=\prod_i (X-\lambda_i)^{n_i}\; Or une propriété démontrée dans l'article sur les polynômes d'endomorphismes dans le paragraphe sur les polynômes minimaux indique que la suite des noyaux

E_i=Ker \chi_i

^*\; est une décomposition en somme directe de l'espace E de sous-espaces stables par l'endomorphisme. Ces noyaux s'appellent les espaces caratéristiques. Sur chacun de ces sous-espaces la restriction de u est la somme d'une homothétie et d'un endomorphisme nilpotent. Ces restrictions possèdent donc une représentation simple.

Les quatre propriétés suivantes résument l'essentiel des propriétés associées à la décomposition de Dunford:

L'espace E est somme directe de ses espaces caractéristiques.
Les sous-espaces caractéristiques sont non réduits au vecteur nul et stables par l'endomorphisme. La restriction de l'endomorphisme à $E_i\;$ est la somme d'une homothétie de rapport $\lambda_i \;$ et d'un endomorphisme nilpotent d'ordre $n_i\;$ .
La suite des $(\lambda_i) \;$ est la suite des valeurs propres. Les sous-espaces propres associés sont inclus dans les sous-espaces caractéristiques.
Les projecteurs sur les espaces caractéristiques ainsi que les endomorphismes diagonalisables et nilpotents s'expriment sous forme de polynômes d'endomorphisme de u.

Démonstration dans Décomposition de Dunford

L'hypothèse sur le fait que le polynôme minimal soit scindé représente une contrainte souvant faible. La clôture algébrique des nombres complexes garantie déjà la généralité de la condition. Pour le cas des nombres réels, il est toujours possible d'étendre l'espace vectoriel aux corps des complexes pour la recherche des solutions, puis dans un deuxième temps de ne choisir que des solutions réelles. Pour les applications, cette démarche est souvent utilisée par les physiciens.

Réduction de Jordan

Article détaillé: Réduction de Jordan

La décomposition de Dunford n'est néanmoins pas une réduction. En effet, cette décomposition n'est pas maximale. Un sous-espace caractéristique se décompose encore.

Sur un sous-espace caractéristique, la restriction de l'endomorphisme s'exprime comme la somme d'une homothétie et d'un endomorphisme nilpotent. Or tout sous-espace est stable pour une homothétie. Il est donc possible de choisir la décomposition que l'on souhaite pour les sous-espaces caractéristiques. La réduction des endomorphismes nilpotents nous fournit une décomposition en sous-espaces stables maximales à l'aide de la définition des espaces de Jordan.

Un espace de Jordan est un sous-espace vectoriel stable par l'endomorphisme et disposant d'une base (e₁, e₂, e_p) tel que:

\exists \lambda \;\forall i \in

^*\; u(e_i)=\lambda e_i + e_{i+1}\quad et \quad u(e_p)=\lambda e_p Cette définition nous permet alors de décrire la Réduction de Jordan pour tout endomorphisme sur un espace vectoriel de dimension finie disposant d'un polynôme minimal scindée:

L'espace vectoriel est somme directe d'espaces de Jordan. Il n'existe aucune décomposition en somme directe de l'espace vectoriel non réduit au vecteur nul et stable par u comportant plus de composantes que celle de Jordan.

Cas du corps des réels

Cas d'un corps quelconque

A faire

Utilisation de la réduction en dimension finie

A faire

Réduction et forme bilinéaire en dimension finie

A faire

Réduction et analyse fonctionnelle

A faire

Sources

Lien internes

Références

Serge Lang Algèbre Dunod
Haïm Brezis Analyse fonctionnelle Théorie et applications Masson
Walter Rudin Functional analysis McGraw-Hill Science

algèbre linéaire | Reduction (mathematics)

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