Produit matriciel

Introduction

Cet article donne une vue d'ensemble sur les différentes façons de multiplier les matrices.

Produit matriciel ordinaire

Il s'agit de la façon la plus fréquente de multiplier des matrices entre elles. Le produit de deux matrices ne peut se définir que si le nombre de colonnes de la première matrice est le même que le nombre de lignes de la deuxième matrice, c'est-à-dire lorsqu'elles sont de type compatible. Si $A=(a_{ij})$ est une matrice de type (m, n) et $B=(b_{ij})$ est une matrice de type (n, p), alors leur produit, noté $AB=(c_{ij})$ est une matrice de type (m, p) donnée par :

\forall i, j : c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} = a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+ a_{in}b_{nj}

La figure suivante montre comment calculer le coefficient $c_{12}$ de la matrice produit AB si A est une matrice de type (2, 4), et B est une matrice de type (4, 3).

c_{12} = \sum_{r=1}^4 a_{1r}b_{r2} = a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}+a_{14}b_{42}

Exemple

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} (1 \times 3+0 \times 2) & (1 \times 1+0 \times 1) \\ (-1 \times 3+3 \times 2) & (-1 \times 1+3 \times 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}

Cette notion de multiplication est importante parce que si A et B sont interprétées comme des matrices d'applications linéaires (ce qui est presque toujours le cas), alors la matrice produit AB représente la matrice de la composition des deux applications linéaires, avec celle qui correspond à B qui est appliquée en premier.

En général, la multiplication des matrices n'est pas commutative, i.e. AB n'est pas égal à BA.

Multiplication de matrices par bloc

Si l'on considère les matrices $M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$ et $N = \begin{pmatrix} A' & B' \\ C' & D' \end{pmatrix}$ , où A, A', B,B', C,C' et D,D' sont des matrices vérifiants :

Le nombre de colonnes de A et C est égal au nombre de lignes de A' et B'
Le nombre de colonnes de B et D est égal au nombre de lignes de C' et D'

on a alors l'égalité $M \cdot N = \begin{pmatrix} A \cdot A' + B \cdot C'& A \cdot B' + B \cdot D' \\ C \cdot A' + D \cdot C' & C \cdot B' + D \cdot D' \end{pmatrix}$

On remarquera l'analogie entre le produit de matrice par blocs et le produit de deux matrices carrées d'ordre 2.

N.B. : On ne définit pas ainsi une nouvelle forme de multiplication de matrices. Celà corespond simplement à une méthode de calcul du produit matricielle ordinaire pouvant simplifier les calcul.

Produit d'Hadamard

Pour deux matrices de même type, nous avons le produit d'Hadamard ou produit composante par composante. Le produit d'Hadamard de deux matrices $A=(a_{ij})$ et $B=(b_{ij})$ de type (m, n), noté A · B, est une matrice de type (m, n), $(c_{ij})$ donnée par

c_{ij}=a_{ij}\times b_{ij}

Par exemple :

\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 0 & 3 \times 0 & 2 \times 2 \\ 1 \times 7 & 0 \times 5 & 0 \times 0 \\ 1 \times 2 & 2 \times 8 & 2 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 7 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}

Remarquons que le produit d'Hadamard est une sous-matrice du produit de Kronecker (voir ci-dessous). Le produit d'Hadamard est étudié par les théoriciens des matrices, mais n'est pas du tout utilisé par les algébristes linéaires.

Produit de Kronecker

B qui est défini par

\begin{pmatrix} a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{n1}B & a_{n2}B & \cdots & a_{mn}B \end{pmatrix}

B est une matrice de type (mp, nr). À nouveau cette multiplication n'est pas commutative.

Par exemple

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times 0 & 1\times 3 & 2\times 0 & 2\times 3 \\ 1\times 2 & 1\times 1 & 2\times 2 & 2\times 1 \\ 3\times 0 & 3\times 3 & 1\times 0 & 1\times 3 \\ 3\times 2 & 3\times 1 & 1\times 2 & 1\times 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 & 6 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 9 & 0 & 3 \\ 6 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} .

B représente le produit tensoriel des deux applications, V₁ ProduitTensoriel.png V₂ → W₁ ProduitTensoriel.png W₂.

Propriétés communes

Les trois multiplications matricielles précédentes sont associatives

A * (B * C) = (A * B) * C

et distributives par rapport à l'addition :

A * (B + C) = A * B + A * C

(A + B) * C = A * C + B * C

et compatibles avec la multiplication par un scalaire:

c(A * B) = (cA) * B = A * (cB)

Multiplication par un scalaire

La multiplication par un scalaire r d'une matrice A=(a_ij) donne le produit

rA=(r a_ij).

Si nous travaillons avec des matrices sur un anneau, alors la multiplication par un scalaire est parfois appelée la multiplication à gauche tandis que la multiplication à droite est définie par :

Ar=(a_ij r).

Quand l'anneau fondamental est commutatif, par exemple, le corps des réels ou des complexes, les deux multiplications sont identiques. Cependant, si l'anneau n'est pas commutatif, tel que celui des quaternions, alors ils peuvent être différents. Par exemple

i\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & j \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & k \\ \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -k \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & j \\ \end{pmatrix}i

Liens externes

WIMS Multiplication des matrices en ligne

Matrice

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